1-1-10. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

Nancy, 19 Août 1881¹¹ 1 Nancy-20 août — Helsingfors-25 août.

Mon cher ami,

Je vous remercie bien des 50 exemplaires que vous avez bien voulu m’envoyer ainsi que de votre lettre qui m’a fait le plus grand plaisir.

Au sujet du théorème auquel votre nom est attaché,²² 2 Mittag-Leffler avait montré qu’il existe des fonctions méromorphes dont les pôles et les parties principales sont données arbitrairement. Plus précisément, soit $(a_{\nu})$ la suite des pôles d’une fonction méromorphe. Si cette suite est finie, alors il n’y a pas de problème : la fonction ne diffère d’une fonction entière que par la somme des parties principales. Le travail original de Mittag-Leffler consiste à généraliser ce résultat au cas où la suite des pôles est infinie et vérifie $\mathop{\lim}\limits_{\nu}\;a_{\nu}=\infty.$ Dans ce cas, la somme des parties principales peut diverger et on doit ajouter à chaque terme un certain polynôme pour réobtenir la convergence. Les articles originaux de Mittag-Leffler (1877d, 1877a, 1877b, 1877c) sont publiés dans les Comptes rendus de l’Académie de Stockholm (Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar) et les principaux résultats résumés dans une lettre à Hermite publiée dans le Bulletin des Sciences Mathématiques (Mittag-Leffler 1879). Weierstrass simplifie la démonstration de ce résultat dans une note aux Monatsberichte (Weierstrass 1880, 1881, 1894, 189–199) et Hermite propose aussi une autre démonstration de ce théorème (Hermite 1882, 1917, 92–103). je voudrais vous demander si vous en avez fait une généralisation pour le cas des fonctions uniformes à espace lacunaire et des fonctions présentant une infinité de points singuliers essentiels.³³ 3 Voir Mittag-Leffler à Poincaré, 11.04.1881 (§ 1), notes. Une pareille généralisation me serait fort utile dans la théorie des fonctions fuchsiennes qui présentent de telles singularités.⁴⁴ 4 Mittag-Leffler proposera à Poincaré une généralisation de son théorème applicable au cas où la suite des pôles reste bornée et donc adaptable à certaines fonctions à espace lacunaire; voir Mittag-Leffler à Poincaré, ca. mars 1882 (§ 13), notes.Poincaré n’utilise pas ces résultats de Mittag-Leffler dans les mémoires sur les fonctions fuchsiennes. Il fait allusion à la méthode de Mittag-Leffler dans son mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes pour expliquer sa démonstration de l’existence des fonctions zétafuchsiennes de deuxième espèce : L’analogie avec la théorie des facteurs primaires de M. Weierstrass et avec le théorème de M. Mittag-Leffler va nous conduire à la généralisation cherchée. (Poincaré 1884; Darboux et al., dirs, 1916, 456) Par contre, il utilise explicitement les résultats de Mittag-Leffler dans son travail sur les fonctions de deux variables (Poincaré 1883; Valiron, dir, 1950, 147–161); voir § 25. D’autre part, dans son étude et sa classification des fonctions thétafuchsiennes (Poincaré 1882; Darboux et al., dirs, 1916, 186), Poincaré reprend la classification des fonctions selon leurs points singuliers que Mittag-Leffler propose dans sa note aux Comptes rendus du 3 avril 1882 (Mittag-Leffler 1882, 938–941); voir § 13, notes, et § 14, notes.

En ce moment, je suis en vacances et, si vous vouliez m’écrire, il faudrait m’adresser votre lettre rue de Serre, 9, Nancy, France.⁵⁵ 5 L’adresse de vacances qu’indique Poincaré est celle de ses parents.

Adieu, mon cher ami, je vous serre cordialement la main et je vous prie d’agréer l’assurance de mon affection sincère et de mon admiration pour votre talent.

Poincaré

ALS 3p. IML 6, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "19.03.2015 01:53"

Références

G. Darboux, N. E. Nörlund and E. Lebon (Eds.) (1916) Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 2. Gauthier-Villars, Paris. External Links: Link Cited by: footnote 4.
C. Hermite (1882) Sur une application du théorème de M. Mittag-Leffler dans la théorie des fonctions. Journal für die reine und angewandte Mathematik 92, pp. 145–155. External Links: Link Cited by: footnote 2.
C. Hermite (1917) Œuvres de Charles Hermite, Volume 4. Gauthier-Villars, Paris. External Links: Link Cited by: footnote 2.
Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (Ed.) (1894) Mathematische Werke von Karl Weierstrass, Volume 2. Mayer & Müller, Berlin. External Links: Link Cited by: footnote 2.
G. Mittag-Leffler (1877a) Om den analystika framställningen af en funktion af rationel karakter med en godtyckligt val gränspunkt. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1, pp. 33–43. External Links: Link Cited by: footnote 2.
G. Mittag-Leffler (1877b) Om den analystika framställningen af en funktion af rationel karakter med ett ändligt antal godtyckligt föreskrifna gränspunkter. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 2, pp. 31–41. External Links: Link Cited by: footnote 2.
G. Mittag-Leffler (1877c) Till fragan om den analystika framställningen af en funktion af rationel karakter genom quten af tva beständigt konvergerande potensserier. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 3, pp. 5–31. External Links: Link Cited by: footnote 2.
G. Mittag-Leffler (1877d) Ytterligare om den analystika framställningen af funktioner utaf rationel karakter. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1, pp. 17–32. External Links: Link Cited by: footnote 2.
G. Mittag-Leffler (1879) Extrait d’une lettre à M. Hermite par M. G. Mittag-Leffler. Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques 3, pp. 269–278. External Links: Link Cited by: footnote 2.
G. Mittag-Leffler (1882) Sur la théorie des fonctions uniformes d’une variable . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 94, pp. 938–1165. External Links: Link Cited by: footnote 4.
H. Poincaré (1882) Mémoire sur les fonctions fuchsiennes. Acta mathematica 1, pp. 193–294. External Links: Link Cited by: footnote 4.
H. Poincaré (1883) Sur les fonctions de deux variables. Acta mathematica 2, pp. 97–113. External Links: Link Cited by: footnote 4.
H. Poincaré (1884) Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes. Acta mathematica 5, pp. 209–278. External Links: Link Cited by: footnote 4.
G. Valiron (Ed.) (1950) Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 4. Gauthier-Villars, Paris. External Links: Link Cited by: footnote 4.
K. Weierstrass (1880) Über einen functionentheorischen Satz des Herrn G. Mittag-Leffler. Monatsberichte der K. preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pp. 707–717. External Links: Link Cited by: footnote 2.
K. Weierstrass (1881) Sur un théorème de M. Mittag-Leffler et sur la théorie des fonctions uniformes. Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques 5 (2), pp. 113–124. External Links: Link Cited by: footnote 2.