1-1-81. Gösta Mittag-Leffler to H. Poincaré

Stockholm 23/2 1889¹¹ 1 Cette lettre est recopiée par un copiste. Outre l’original, on dispose du brouillon (Brefkoncept 1226).

Mon cher ami,

Mes vives remerciements de votre bonne lettre et des confidences que vous me faites sur le mémoire de M. Gyldén. Maintenant je suis forcé de demander encore une fois votre aide. Il va sans dire que je ne communiquerai à personne que c’est vous qui donnez les renseignements dont j’ai besoin.

M. Gyldén est de fort mauvaise humeur et à la dernière séance de l’académie des sciences, il a fait une communication où il prétend que tout ce que vous avez donné sur les solutions asymptotiques se trouve déjà aux pages 263-264 de son grand mémoire dans les Acta.²² 2 Gyldén 1887. Je n’étais pas présent à la séance à cause de maladie mais à la séance prochaine le 13 Mars je dois sur l’ordre du roi donner un compte rendu rapide des principaux résultats de votre mémoire. Je crois voir à peu près ce que je dois répondre aux observations de M. Gyldén mais pour être tout à fait sûr je vous prierai de vouloir bien m’exposer dans les termes que vous employez ainsi que dans ceux qu’emploie M. Gyldén la réfutation des prétentions qu’il a trouvé convenable d’exposer devant l’académie.³³ 3 Gyldén avait revendiqué une priorité au sujet des solutions asymptotiques devant l’Académie des Sciences de Suède. Mittag-Leffler était en train de préparer une réponse et espérait pouvoir se retrancher derrière l’autorité du rapport de Weierstrass. Der König wünschte nämlich dass ich an der Februar Sitzung der Academie einen Referat geben möchte über die Arbeit von Poincaré. Das wollte ich doch sehr ungern thun früher als ich Ihren Beurtheilung zur Hand hätte. Jetzt wurde mein Referat aufgeschoben bis die März Sitzung welche am 6ten März stattfindet. Und bis dahin hoffe ich sicher dass ich Ihren Referat bekommen habe. (Lettre de Mittag-Leffler à Weierstrass datée du 22 février 1889 — IML) Le 6 mars, Weierstrass répond qu’il envoie en recommandé son rapport bien qu’il ne soit pas rédigé d’une manière satisfaisante. Mein Bericht ist nicht so reinlich geschrieben als es sein müsste. (IML) Le 10 mars, Mittag-Leffler lui répond en lui accusant reception du début du rapport. Il espère recevoir la suite le lendemain ou le surlendemain. Comme il doit intervenir devant l’Académie le 13 mars, le rapport arrivera juste à temps. Mittag-Leffler fait alors mention de sa correspondance avec Poincaré au sujet des travaux de Gyldén : Es wird mir nicht leicht denselben zu halten vor eine grosse Sammlung nicht Mathematiker. Ich habe mit Poincaré einen weitläufigen Briefwechsel über die Arbeiten von Gyldén gehabt. Es steckt seiner Meinung nach viel mehr darin als man zur Anfang glauben könnte, aber das meiste ist falsch und die Reihen sind jedenfalls divergent. (IML) Je suis désolé que la marche officielle soit si lente et que la médaille n’est pas encore à Paris. Mais c’est qu’on / attend le prochain courrier qui déposera la médaille chez le comte de Lewenhaupt lequel viendra après chez vous au nom du roi. Et on me dit maintenant au ministère des affaires étrangères que le courrier partira à la fin de la semaine prochaine.

Et maintenant encore une chose quant à votre mémoire. M. Weierstrass m’écrit il y a quelques jours :⁴⁴ 4 La lettre de Weierstrass dont Mittag-Leffler cite ici un extrait est datée du 2 février 1889. Elle est publiée dans les Acta mathematica 35 (Mittag-Leffler 1911, 55–58).

“P[oincaré] behauptet dass aus der Nichtexistenz mehrerer eindeutige[r] (analyt.) Integrale bei einem dynamischen Problem nothwendig die Unmöglichkeit folge, das Problem durch Reihen von der Form

\sum{C_{\nu\nu^{\prime}}}\begin{array}[]{*{20}c}{\cos}\\ {\sin}\end{array}\left({\nu at+\nu^{\prime}a^{\prime}t+\cdots}\right)

zu lösen. Diese Behauptung, die von fundamentaler Bedeutung ist, wird ohne Beweis ausgesprochen. Nun glaube ich zwar, der Sache einigermassen auf den Grund zu sehen, bin aber doch nicht ganz sicher darin, und fürchte, dass es den meisten Lesern eben so gehen möge. Ich möchte daher sehr wünschen, dass P[oincaré] seinen Gedankengang auch noch in einer Note darlege.” ⁵⁵ 5 Weierstrass fait allusion à une des conclusions du paragraphe Résultats négatifs : [… ] donc en dehors de l’intégrale des forces vives et dans le cas particulier qui nous occupe, le problème des trois corps n’admet pas d’intégrale analytique et uniforme.
Cela montre en même temps que les séries habituellement employées en mécanique céleste, et en particulier les séries de Lindstedt ne sont pas convergentes, car leur convergence entraînerait l’existence d’une intégrale analytique et uniforme. (Poincaré, première impression du mémoire, IML, p. 157) Dans sa lettre à Poincaré du 15.11.1888 (§ 70), Mittag-Leffler posait déjà la question de la démonstration de la divergence des séries de Lindstedt et Poincaré avait rédigé à ce sujet la note A intitulée Sur la divergence des séries de M. Lindstedt. Il en propose deux démonstrations. La première est plus directe. Poincaré prouve que si les séries de Lindstedt convergeaient, les exposants caractéristiques s’annuleraient. Poincaré démontre alors que c’est impossible dans le problème des trois corps. Dans la seconde démonstration, Poincaré montre que l’on peut facilement construire de nouvelles intégrales du système si les séries de Lindstedt sont convergentes. En effet, “les séries de M. Lindstedt sont des séries trigonométriques en $w_{1}$ et $w_{2}$ ; elles sont développées suivant les puissances de $\mu$ et aussi suivant les puissances des deux constantes $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ ”. Poincaré montre alors que les constantes $\omega_{1}$ et $\omega 2$ peuvent s’exprimer comme fonctions analytiques et uniformes des coordonnées du problème. Ce sont donc des intégrales du système. Dans une lettre adressée à Mittag-Leffler le 12 juin 1889, Weierstrass considère que les notes ajoutées au mémoire principal répondent à la plupart de ses questions. Néanmoins, la démonstration de la divergence des séries trigonométriques lui semble mériter quelques éclaircissements supplémentaires. Il pense que pour beaucoup de lecteurs, ce résultat apparaîtra douteux dans le cas de la stabilité. Ich bin daher der Ansicht, dass es sehr nützlich sein werde, wenn Hr. P[oincaré] sich entschliessen möchte, auch über diesen Gegenstand seiner Arbeit eine kurze Note hinzuzufügen [… ]. Dass die Bewegung eines Systems stabil sein kann, ohne dass die Grössen $x_{i}$ , $y_{i}$ durch trigonometrische Reihen ausdrückbar sind, lehrt allerdings schon, wie ich in meiner Rezension der Preisschrift hervorgehoben habe, die Existenz der asymptotischen Bewegungen; aber damit ist die Sache nicht abgemacht. (IML)

D’après ma connaissance du grand géomètre il est fort peu probable qu’il se décidera jamais de vous écrire.⁶⁶ 6 Weierstrass se promettait pourtant d’écrire à ce sujet lui-même à Poincaré : Nun hätte ich noch ein Desiderium, worüber ich selbst an P[oincaré] schreiben werde. (Mittag-Leffler 1911, 56) Mais je désire très vivement comme vous le faites vous-même sans doute qu’il vous comprenne tout à fait. J’ose donc vous proposer de vouloir bien écrire encore une note destinée pour M. Weierstrass et qui sera ou un supplément à la note A ou B, ou une note nouvelle comme vous choisissez vous-même.

Le rapport définitif de M. Weierstrass n’est pas encore entre mes mains.⁷⁷ 7 Voir la note en amont, et § 70, notes. Il change la rédaction à chaque moment et il pèse chaque mot. Mais c’est que ce rapport aura aussi un retentissement bien extraordinaire et on l’a déjà très vivement attaqué sans la connaître même. M. Kronecker est terrible et il attend seulement la publication du rapport pour venir avec sa critique. Pour vous cela est bien égal mais pour le pauvre Weierstrass qui est vieux et seul c’est autre chose.⁸⁸ 8 Depuis la mort de Gauss en 1855, les mathématiques allemandes étaient dominées institutionnellement par Kronecker, Kummer et Weierstrass, tous professeurs à l’Université de Berlin. En 1883, Kummer avait pris sa retraite et depuis, la polémique (surtout entretenue par Kronecker) faisait rage entre les deux principaux mathématiciens allemands. Les querelles étaient incessantes et secouaient toute l’institution. L’autorité incontestable de Weierstrass s’appuyait sur son immense œuvre mathématique et sur la qualité de son enseignement, celle de Kronecker, outre son œuvre mathématique non moins importante, reposait néanmoins aussi sur l’utilisation de ses relations sociales et institutionnelles. Si indéniablement, on peut trouver certaines divergences scientifiques (en particulier autour de l’utilisation de l’infini et de la définition des nombres rationnels de Weierstrass) entre les deux mathématiciens, leur querelle se déroulait aussi sur le terrain institutionnel ; ainsi, les travaux de Cantor bien accueillis, au moins au début, par Weierstrass sont rejetés par Kronecker. Cantor aura de grandes difficultés à se faire publier dans le Journal für die reine und angewandte Mathematik, pourtant officiellement dirigé par Kronecker et Weierstrass. Par contre, les Acta mathematica, dirigés par Mittag-Leffler, élève de Weierstrass, serviront la diffusion des travaux de Cantor par l’édition de traductions en français de ses premiers articles (voir § 28, notes). La querelle Fuchs-Schwarz, les difficultés en Allemagne de Kovalevskaia et les polémiques autour des questions posées au concours du prix du roi de Suède ne se réduisent certes pas uniquement à cette querelle mais en sont autant d’épisodes. Weierstrass, semble-t-il, subissait avec difficulté cette tension : Wenn aber Kronecker den Ausspruch thut, den ich wörtlich wiederhole:
“Wenn mir noch Jahre und Kräfte genug bleiben, werde ich selber der mathematischen Welt noch zeigen, dass nicht nur die Geometrie, sondern auch die Arithmetik der Analysis die Wege weisen kann, und sicher die strengeren. Kann ich es nicht mehr thun, so werden’s die thun, die nach mir kommen, (Hensel, Molk?) und sie werden auch die Unrichtigkeit aller jener Schlüsse erkennen, mit denen jetzt die sogenannte Analysis arbeitet”; so ist ein solcher Ausspruch von einem Manne, dessen hohe Begabung für mathematische Forschung und eminente Leistungen von mir sicher ebenso aufrichtig und freudig bewundert worden wie von allen seinen Fachgenossen, nicht nur beschämend für diejenigen, denen zugemuthet wird, dass sie als Irrthum anerkennen und abschwören sollen, was den Inhalt ihres unablässigen Denkens und Strebens ausgemacht hat, sondern es ist auch ein directer Appell an die jüngere Generation, ihre bisherigen Führer zu verlassen und um ihn als Jünger einer neuen Lehre, die freilich erst begründet werden soll, sich zu scharen. Wirklich, es ist traurig und erfüllt mich mit bitterm Schmerz, daß das wohlberechtigte Selbstgefühl eines Mannes, dessen Ruhm unbestritten ist, ihn zu Äußerungen zu treiben vermag, bei denen er nicht einmal zu empfinden scheint, wie verletzend sie für andere sind. (Weierstrass à Kovalevskaia, 24 mars 1885, cité par Bölling 1993, 330) Il n’a pas hésité un moment à vous faire les plus grands éloges mais il choisit les mots avec une peine infinie.

Naturellement je fais toutes ces indiscrétions à vous seul et je sais que vous ne trahirez point.

Veuillez présenter les hommages de Madame Mittag-Leffler et de moi-même à Madame Poincaré et agréez vous-même l’expression du profond dévouement

de votre ami

Mittag-Leffler

ALS 3p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "19.03.2015 01:53"

Références

R. Bölling (1993) Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und Sofia Kowalewskaja. Akademie Verlag, Berlin. Cited by: footnote 8.
H. Gyldén (1887) Untersuchungen über die Convergenz der Reihen, welche zur Darstellung der Coordinaten der Planeten angewendet werden.. Acta Mathematica 9, pp. 185–290. External Links: Link Cited by: footnote 2.
G. Mittag-Leffler (1911) Zur Biographie von Weierstrass. Acta mathematica 35, pp. 29–65. External Links: Link Cited by: footnote 4, footnote 6.