2-54-1. H. Poincaré to Arnold Sommerfeld

[Ca. 03.1912]

Mon cher Collègue,

J’ai examiné le mémoire de M. March que vous avez eu la bonté de m’envoyer. J’ai découvert l’origine de l’erreur de M. March.

A la page 39 de sa dissertation il envisage une certaine intégrale (94) que j’écrirai pour abréger.

Π1=F(α)𝑑α.

l’intégrale est prise le long du contour OMN.11La figure ne paraît pas dans la note de Poincaré (1912).

Comme ϱ est très grand, il remplace F(α) par sa valeur approchée.

Soit Φ(α) cette valeur approchée, cela veut dire que l’on a :

F(α)=Φ(α)(1+ε)

ε étant très petit de l’ordre de

1ϱ.

M. March obtient ainsi l’intégrale de la page 42, l’intégrale (100) que j’écris pour abréger

Φ(α)𝑑α.

et qu’il regarde comme une bonne approximation de (94).

Pour que cette vue fût exacte, il faudrait que l’erreur commise :

Δ=εΦ(α)𝑑α

fût négligeable devant l’intégrale (100) elle-même. Or il n’en est pas ainsi. Cette intégrale (100) calculée page 43 à la formule (101) est de l’ordre de 1/ϱ.

Quel est l’ordre de la quantité sous le signe

εΦ(α) ?

Φ(α) contient en facteur cos(αθ-π/4) lequel est de l’ordre de eβθ, β étant la partie imaginaire de α, laquelle peut atteindre ϱ. Donc εΦ(α) est très petit par rapport à Φ(α), mais très grand par rapport à 1/ϱ, c’est à dire par rapport à (100).22Le manuscrit comporte un trou à la place du dénominateur, que nous rétablissons. L’intégrale des valeurs absolues

|εΦ(α)dα|

serait de l’ordre de eϱθ/ϱ3 et c’est par suite de compensations que Δ est seulement de l’ordre de 1/ϱ, à peu près égale et de signe contraire à (100) de façon que la valeur exacte (94) soit très petite par rapport à la soi-disant valeur approchée (100).

Je profite de l’occasion pour me rappeler à votre bon souvenir.33Sommerfeld et Poincaré se sont vus lors du premier Conseil Solvay à Bruxelles, du 30.10 au 03.11.1911 (§ 53.1). Dans une lettre à Wilhelm Wien, Sommerfeld reconnaît la valeur de l’argument mathématique de Poincaré (Sommerfeld à W. Wien, 29.11.1913, NL 56–010, Archiv, Deutsches Museum).

Votre bien dévoué Collègue,

Poincaré

ALS 3p. HS 1977–28A/266, Archiv, Deutsches Museum.

Last edit: 19.03.2015

Références

  • H. Poincaré (1912) Sur la diffraction des ondes hertziennes. Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences de Paris 154, pp. 795–797. External Links: Link Cited by: 2-54-1. H. Poincaré to Arnold Sommerfeld.