1-1-241. Gösta Mittag-Leffler to H. Poincaré

Djursholm le 17 Février 1909

Mon cher ami,

Vous avez publié dans les Comptes rendus deux articles fort intéressants sur les méthodes de Fredholm.¹¹ 1 Poincaré 1908, et 1909b. M. Fredholm ne parvient pas à démontrer vos résultats. Il s’est imaginé que des théorèmes dans ce genre devaient exister mais il n’est jamais parvenu à les démontrer.²² 2 Fredholm (1903) s’intéresse à l’équation $\varphi(x)+\int_{0}^{1}f(x,y)\varphi(y)dy=\phi(x).$ Fredholm introduit formellement le déterminant de l’équation intégrale comme généralisation du déterminant d’un système d’équations linéaires. Il montre que si f est finie et intégrable, celui-ci est défini. Fredholm montre alors que la transformation $S_{f}$ définie par $S_{f}(\varphi)(x)=\varphi(x)+\int_{0}^{1}f(x,y)\varphi(y)dy$ est inversible si le déterminant est non nul. Fredholm termine son article en étudiant “le cas où $f\left({x,y}\right)$ devient infini de telle manière que $(x-y)^{\alpha}f(x,y)$ reste fini”, $\alpha$ restant un nombre inférieur à l’infini. Il montre que dans ce cas en itérant le noyau, on obtient un noyau qui reste fini. Poincaré reprend l’analyse cette analyse en écrivant l’équation de Fredholm sous la forme $\varphi(x)=\lambda\int_{0}^{1}{f\left({x,y}\right)\varphi(y)}dy+\phi(x).$ La solution de Fredholm s’écrit alors $\varphi(x)=\phi(x)+\lambda\int_{0}^{1}\phi(y)\frac{N(\lambda,x,y)}{D(\lambda)}dy$ où $N$ et $D$ s’expriment en fonction du déterminant de Fredholm. Poincaré étudie la formation de la fonction méromorphe $N(\lambda)/D(\lambda)$ quand le noyau devient infini pour $x=y$ de la même façon que $(x-y)^{\alpha}$ où $\alpha<(n-1)/n$ pour un certain $n$ .

J’ose donc vous proposer de m’écrire un article sur ce sujet en forme d’une lettre à moi ou sous quelle autre forme que vous veuillez choisir.³³ 3 Poincaré 1909a, 1910, 1934, 555–582.

Il paraît que la commission Nobel s’intéresse à la télégraphie sans fil.⁴⁴ 4 Voir § 239et § 240. Mais nous verrons.

Dans l’espoir que ces lignes vous trouveront en bonne santé.

Tout à vous.

Votre ami dévoué

TLX 1p. IML 4523, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Références

J. Drach (Ed.) (1934) Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 3. Gauthier-Villars, Paris. External Links: Link Cited by: footnote 3.
I. Fredholm (1903) Sur une classe d’équations fonctionnelles. Acta mathematica 27, pp. 365–390. External Links: Link Cited by: footnote 2.
H. Poincaré (1908) Remarques sur l’équation de Fredholm. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 147 (25), pp. 1367–1371. External Links: Link Cited by: footnote 1.
H. Poincaré (1909a) Remarques diverses sur l’équation de Fredholm. Association française pour l’avancement des sciences 38, pp. 1–28. External Links: Link Cited by: footnote 3.
H. Poincaré (1909b) Sur quelques applications de la méthode de M. Fredholm. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 148 (3), pp. 125–126. External Links: Link Cited by: footnote 1.
H. Poincaré (1910) Remarques diverses sur l’équation de Fredholm. Acta mathematica 33, pp. 57–86. External Links: Link Cited by: footnote 3.