3-9-1. Octave Callandreau to H. Poincaré

[Avant le 26.02.1882]

Mon cher ami,

Je m’empresse de te dire ce que je sais sur les deux points qui t’intéressent :

Sur la stabilité du système solaire, je savais aussi, par une indication de M. Gyldén, que M. Weierstrass avait examiné la convergence des séries; où et comment je ne l’ai pas appris.¹¹ 1 Voir Callandreau à Poincaré, 26.02.1882 (§3-9-2). Mais M. Gyldén, en septembre dernier, a lu au Congrès astronomique à Strasbourg, un travail simple et court sur le même sujet.²² 2 L’observatoire astronomique de Strasbourg fut inauguré le 22 septembre 1881. Ce fut aussi l’occasion de tenir la 9^e assemblée générale de l’Astronomische Gesellschaft du 22 au 24 septembre. La plupart des directeurs d’observatoires européens assistèrent à cette réunion dont H. Gyldén, directeur de l’observatoire de Stockholm. Callandreau participa aussi à cette assemblée; voir W. Seggewiss (2005). Le bulletin de la Société astronomique aurait dû paraître déjà; je pourrais te le communiquer.³³ 3 Il s’agit de Gyldén (1881d), où il étudie la convergence des développements obtenus par approximations successives dans certains problèmes de mécanique céleste. Cet article est la rédaction de sa conférence à l’assemblée de Strasbourg de l’Astronomische Gesellschaft. Pour introduire sa nouvelle méthode des orbites intermédiaires, il évoque un cours de Weierstrass sur la théorie des perturbations dans lequel ce dernier aurait critiqué les méthodes utilisées en mécanique céleste : In einem unlängst veröffentlichten Bericht über meine neuesten theoretischen Untersuchungen habe ich die Ansicht ausgesprochen, dass die bisherige Betrachtungsweise in der theoretischen Astronomie dem wissenschaftlichen Bedürfnisse nicht mehr genüge, und darauf hingewiesen, dass die successiven Annäherungen, wenn man von osculirenden Kepler’schen Ellipsen ausgeht, nicht immer convergiren und in Folge dëssen nur in beschränkter Weise brauchbar sind. Durch die Güte meines Freundes Prof. Mittag-Leffler habe ich seitdem Gelegenheit gehabt, Kenntniss von den Vorlesungen zu nehmen, die Professor Weierstrass über das Problem der Störungen in der Astronomie vergangenen Winter gehalten hat. (Gyldén 1881d, 296–297) Il n’est pas fait mention de ces leçons sur la théorie des perturbations dans la liste des cours de Weierstrass publiée dans le tome III de ses œuvres. C’est du reste à cause de ce défaut de convergence des séries qu’il a été amené, comme il le dit dans la Note qui accompagne ma lettre „Ueber die Theorie”, à imaginer quelque nouveau moyen de calculer les perturbations.⁴⁴ 4 Il s’agit de la note de Gyldén (1881e) publiée dans Astronomische Nachrichten. Gyldén exprime dans cet article ses doutes et ses insatisfactions par rapport aux techniques usuelles de perturbations et présente les grandes lignes de sa méthode : Wenn es aber als zweckmässig erachtet wird, die Vorstellungsweise von osculirenden Ellipsen zu verlassen, was soll sie ersetzen! – Da das Problem der drei Körper mit Hülfe der gegenwärtig bekannten Functionen nur durch Annäherungen gelöst werden kann, so lautet die Antwort auf diese Frage : jedenfalls Annäherungen, aber Annäherrungen, deren erste bereits einen näheren Anschluss an die wahre Bahn gewährt, als die Kepler’sche Ellipse. Das einfachste Mittel, den Ausgangspunkt solcher Annäherungen zu finden, scheint aber das zu sein, dass man versucht, ob nicht die mecanischen Differential-gleichungen der Dynamik integrirt werden können bei Hinzuziehung mehrerer Glieder aus der Kräftefunction ausser dem einzigen, welches von der Anziehung der Sonne herrührt. (Gyldén 1881e, 99)

Sans doute tu as regardé les conclusions de Le Verrier, Annales de l’Observatoire Mémoires tome II p. 163–168.⁵⁵ 5 Le Verrier 1856. Le Verrier conclut à la stabilité du système de Jupiter, Saturne, Uranus; quant au système de Vénus, la terre, Mercure et Mars, il déclare la méthode des approximations successives incapable de prononcer un jugement et il fait alors appel aux géomètres.⁶⁶ 6 Dans le chapitre consacré aux inégalités séculaires, Le Verrier (1856) conclut que la méthodes des approximations successives fournit des développements des intégrales en séries “assez convergentes pour qu’on puisse répondre de la stabilité” du système des trois planètes Jupiter, Saturne et Uranus. En revanche, pour le système des planètes les plus proches du soleil (Mars, Terre, Vénus, Mercure), Le Verrier est beaucoup plus prudent et signale que les techniques développées par les astronomes sont certainement insuffisantes : Il nous reste à parler du système composé des quatre planètes, Mercure, Vénus, la Terre et Mars. Il ne saurait être traité aussi complétement que le précédent. L’incertitude qui règne sur les masses de ces petites planètes fait que nous ne pouvons compter que faiblement sur les valeurs d’une partie des coefficients et des arguments qui entrent dans les formule de la première approximation. [… ] Or il est clair qu’il n’y aurait aucun avantage à calculer les corrections dues aux termes du troisième ordre, et dont la valeur absolue tomberait au-dessous des erreurs provenant des inexactitudes probables des masses.
Aussi, bien que les arguments de la première approximation dussent être notablement modifiés pour qu’on pût compter sur les formules dans un avenir reculé, nous n’insisterons pas sur ces corrections, et nous nous bornerons à dire qu’elles sont assez petites par rapport aux arguments eux-mêmes, pour que les séries suivant lesquelles se développent les intégrales soient regardées comme convergentes.
Mais la principale difficulté vient ici de ce que les termes du troisième ordre introduisent, dans les équations différentielles, plusieurs termes dont les arguments diffèrent très-peu de ceux de la première approximation. Ces termes acquièrent, par l’intégration, de très-petits diviseurs ; et ainsi il en résulte, dans les intégrales, des termes dus à la seconde approximation, et dont les coefficients surpassent même ceux de la première approximation. Si l’on pouvait répondre de la valeur absolue de ces termes, la conclusion serait simple : la méthode des approximations successives devrait être rejetée. En recourant aux formules que j’ai données pour juger du degré d’exactitude des arguments, j’ai reconnu qu’on ne pouvait pas arriver à une semblable conclusion, et même qu’on en pouvait tirer aucune ; car, avec les masses admises dans le calcul, quelques diviseurs sont assez petits pour rendre les séries divergentes, et d’autres, par de faibles changements apportés à ces masses, produiraient le même effet. Mais d’un autre côté, par de pareils changements dans les masses, on pourrait rendre tous ces diviseurs assez grands pour que les termes du troisième ordre permissent encore de compter sur la ocnvergence des séries.
Il paraît donc impossible, par la méthode des approximations successives, de prononcer si, en vertu des termes de la seconde approximation, le système composé de Mercure, Vénus, la Terre et Mars, jouira d’une stabilité indéfinie ; et l’on doit désirer que les géomètres, par l’intégration des équations différentielles, donnent les moyens de lever cette difficulté, qui peut très-bien ne tenir qu’à la forme. (Le Verrier 1856, 167–168)

Je ne sais pas par quelle voie tu as été amené à conclure à la divergence des séries pour $t$ assez grand mais en effet – c’est une idée et non un raisonnement – le fait que les puissances de $t$ et les puissances des masses sont toujours associées conduit à penser que la limite de convergence dépend du produit de la masse par le temps.⁷⁷ 7 Poincaré a dû faire part à Callandreau de ses travaux en cours (et non encore publiés) sur la convergence des séries trigonométriques dans lesquels il s’intéresse aux différents types de convergence des séries. Il souligne en particulier le fait “qu’une série purement trigonométrique et toujours convergente peut cependant croître au-delà de toute limite” (Poincaré 1883b). Poincaré note à cet égard que la démonstration de la convergence des séries de la mécanique céleste est insuffisante pour assurer la stabilité du système. La première note de Poincaré (1882b) concernant la question de la convergence des séries trigonométriques est publiée dans les Comptes rendus de la séance du 30 octobre 1882. Poincaré a déjà commencé à s’intéresser à la question de la convergence des séries utilisées en mécanique céleste, comme en témoigne sa note du 27.02.1882, dans laquelle il vante un des mérites de sa théorie: appliquée “aux équations de la Mécanique céleste”, les séries resteraient “convergentes pour toutes les valeurs réelles du temps” (Poincaré (1882a). À cet égard ne pourrais-tu pas, considérant les équations différentielles du mouvement et multipliant les masses troublantes par un paramètre $\alpha$ , voir quelles sont les limites de $\alpha$ , dans le développement des intégrales ordonnés suivant les puissances de $\alpha$ , compatibles avec la convergence des séries. Il y aurait là une justification des procédés jusqu’ici constamment appliqués dans le calcul des perturbations.⁸⁸ 8 La suggestion de Callandreau est un résumé d’un programme de détermination du domaine de convergence des développements en séries utilisés en mécanique céleste. En un sens, une grande partie du mémoire de Poincaré (1890) sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique suit ce programme : à partir du développement du lagrangien $F$ par rapport à un paramètre lié à la masse de la planète perturbatrice, $F=F_{0}+\mu F_{1}+\mu^{2}F_{2}+\ldots,$ Poincaré (1891, 17) distingue les solutions périodiques du premier genre qui sont développables en séries (absolument) convergentes par rapport à $\mu$ et celles du second genre qui ne le sont pas. En considérant une solution “peu différente” d’une solution périodique, il introduit la notion d’exposant caractéristique et insiste pour montrer que ceux-ci et les coefficients intervenant dans les développements en série sont “développables suivant les puissances de $\sqrt{\mu}$ ” (ou de $\mu$ ). Les solutions asymptotiques (introduites par Poincaré) sont associées aux solutions périodiques instables (à coefficient caractéristique réel). Poincaré (1891, 19) déduit de son étude des solutions périodiques et asymptotiques que “les séries habituelles de la Mécanique céleste sont divergentes” en montrant que les développements ordonnés suivant les puissances de $\sqrt{\mu}$ ne peuvent qu’être divergents. Poincaré commence à développer ce programme peu de temps après cet échange de lettres avec Callandreau puisqu’il publie en 1883 une note sur les solutions périodiques du problème des trois corps (Poincaré 1883a). À la demande de Tisserand (voir Tisserand à Poincaré, 29.12.1883 (§ 3-44-1), il développe ses premiers résultats sur les solutions périodiques. Il explique qu’en structurant l’espace des solutions du problème des trois corps autour des solutions périodiques, on obtient une méthode pour estimer les résultats donnés par les méthodes d’approximation successives : Il semble au premier abord que ces solutions périodiques ne puissent être d’aucune utilité pratique, puisqu’elles correspondent à des valeurs particulières des éléments initiaux, valeurs dont la probabilité est nulle. Mais, si les éléments initiaux sont très voisins de ceux qui correspondent à une solution périodique, on pourra rapporter les positions véritables des trois masses aux positions qu’elles occuperaient dans cette solution périodique et se servir, par conséquent, de cette solution comme d’une orbite intermédiaire. Appelons $r,\nu,r^{\prime},\nu^{\prime}$ les coordonnées polaires de $m$ et $m^{\prime}$ sur cette orbite intermédiaire, $r+\rho,\nu+\omega,z,r^{\prime}+\rho^{\prime},\nu^{\prime}+\omega^{\prime},z^{\prime}$ les coordonnées semi-polaires de ces mêmes masses sur leur orbite réelle ; les quantités $\rho,\omega,z,\ldots$ sont très petites au moins pendant un certain temps. Nous pourrons alors écrire les équations du mouvement sous la forme suivante : $\frac{d^{2}\rho}{dt^{2}}=R$ (5) [… ] L’intégrale générale de l’équation (5) est de la forme $\rho=F+t\Phi,$ où $F$ et $\Phi$ sont des séries trigonométriques. Le dernier terme est séculaire ; mais on peut toujours choisir l’orbite intermédiaire de façon que ce terme soit nul. Les différences $\rho,\omega,z,\ldots$ sont alors exprimables par des séries trigonométriques.
Voici quelle me semble pouvoir être l’utilité de l’étude des équations (5). Dans le calcul des variations séculaires des excentricités, on est conduit à des équations qui sont linéaires comme les équations (5), mais où les coefficients sont des séries trigonométriques de plusieurs arguments (deux, dans le cas de trois corps). On supprime ensuite tous les termes périodiques pour ne conserver que les termes constants. Il n’est pas sûr qu’on ne commette pas ainsi une erreur considérable ; car, si l’on faisait l’intégration en tenant compte des termes périodiques, les approximations successives introduiraient des termes à petit argument qui pourraient exercer une influence apréciable sur la valeur de la période des excentricités. Au contraire, en étudiant les équations (5), on ne rencontrera pas cette difficulté, puisque les coefficients ne dépendent que d’un seul argument. L’étude de cette équation permettra donc de rendre compte de la grandeur de l’erreur commise par la méthode ordinaire. (Poincaré 1884, 73–74)

Le but poursuivi par M. Gyldén dans ses recherches est de partir d’une orbite auxiliaire plus conforme à la véritable orbite décrite que l’ellipse de Képler pour parvenir, par des approximations plus convergentes, à un degré convenable de précision.⁹⁹ 9 Callandreau avait présenté en 1880 une thèse sur la détermination des perturbations d’une petite planète par les méthodes de M. Gyldén (Callandreau 1882). H. Andoyer présente les méthodes de Gyldén de la même manière que Callandreau : [… ] les récents travaux de M. Poincaré permettent de supposer, comme l’avait déjà fait M. Weierstrass, qu’il existe des cas où la légitimité des procédés habituels de la Mécanique céleste peut être mise en doute, du moins s’il s’agit d’intervalles de temps très considérables.
Si, comme nous venons d’en entrevoir la possibilité, il se présente des difficultés que les théories actuelles sont impuissantes à résoudre, il faut, de toute nécessité, supposer que les approximations successives, qui sont censées conduire à la solution, ne sont pas convergentes. La première de ces approximations est obtenue en négligeant complètement les forces perturbatrices ; l’orbite correspondante est l’ellipse de Kepler. Si l’on prend cette ellipse pour point de départ des approximations, si, en outre, comme on le fait d’habitude, ces approximations sont ordonnées par rapport aux puissances croissantes des masses perturbatrices, forme-t-on nécessairement une suite qui converge vers la véritable solution ? En d’autres termes, peut-on pousser la théorie assez loin pour que les différences entre les coordonnées véritables de l’astre et celles que l’on déduit du calcul puissent devenir et rester aussi petites qu’on le veut ? Telle est la question que s’est posée M. Gyldén, et qu’il a résolue par la négative.
C’est donc une nouvelle méthode qui devient nécessaire pour étudier le mouvement des corps célestes. [… ] Voici, en effet, ce qui caractérise cette méthode [de Gyldén] : pour servir de base aux approximations successives, M. Gyldén choisit, et cela suivant les cas, une courbe représentant le mouvement réel de l’astre considéré d’une façon plus approchée que l’ellipse de Kepler. Cette courbe est nommée orbite intermédiaire. (Andoyer 1887, M2–M3)

Il avait étudié dans un mémoire antérieur le mouv^t d’un point soumis à l’action d’une force centrale $\frac{\mu_{1}}{r^{2}}+\mu_{2}r$ .¹⁰¹⁰ 10 Dans sa note sur la théorie du mouvement des corps célestes, Callandreau résume de la même manière la méthode de Gyldén en insistant qu’elle fait partie de la tradition des travaux qui s’appuient sur une modification de l’expression du potentiel newtonien: Il s’agit essentiellement de la détermination du mouvement de l’astre dans le plan mobile de l’orbite, en considérant en quelque sorte le développement de l’orbite troublée sur un plan. La force perturbatrice a pour résultat de déformer l’ellipse de Kepler et de l’entraîner dans le plan mobile ; et il est connu que Clairaut représenta à peu près le mouvement du périgée de la Lune en prenant comme expression de la force d’attraction $F=\frac{\mu}{r^{2}}+\frac{\nu}{r^{3}}.$ En suivant cet ordre d’idée, on rapporte l’orbite troublée non plus à l’ellipse de Kepler, mais à une orbite intermédiaire décrite sous l’action d’une force centrale ; par un choix convenable de cette force, il peut arriver, on le conçoit, que l’effet principal des perturbations, connues par les premiers calculs, soit manifesté dans l’orbite auxiliaire, circonstances avantageuse pour les approximations ultérieures. (Callandreau 1881, 779–780) L’orbite tourne dans son plan en se déformant; par un choix convenable de $\mu_{2}$ on peut se rapprocher du déplacement de l’orbite dans son plan tel qu’il est donné par les observations et les premiers calculs. Alors il prend cette orbite comme orbite auxiliaire ou intermédiaire, et il reste à corriger la position obtenue en modifiant un peu la longitude et le rayon vecteur tirés de l’orbite intermédiaire. Ce dernier point n’est pas évidemment le plus difficile, ce sera l’objet d’une transformation des équations du mouvement du genre de celle que tu peux voir C.R. 14 novembre 1881 p. 780.¹¹¹¹ 11 Callandreau (1881) propose une “déduction différente” des méthodes de Gyldén, Callandreau montre qu’en utilisant un changement de variables du type $t=\beta\int r^{2}du,$ les équations du second ordre qui déterminent le mouvement sont “susceptibles de simplifications”. Cependant cette manière qu’est celle de M. Gyldén ne paraît pas être la meilleure. Mais c’est un point qui, très important pour le calcul, ne touche pas, tu le comprends, à la nature de la méthode.

Trouver de bonnes orbites intermédiaires, là est le point essentiel; la manière dont on calculera les corrections de la longitude et du rayon vecteur ou la variation et l’évection a moins d’importance.¹²¹² 12 Gyldén décrit le mouvement des corps sur l’orbite intermédiaire en utilisant trois variables qu’il note $\tau,\epsilon_{0}$ ou $\nu_{0}$ et qu’il appelle respectivement le temps réduit, l’anomalie intermédiaire et la longitude intermédiaire: La longitude intermédiaire et le rayon vecteur intermédiaire, appartenant tous les deux à une même valeur de $\tau$ ou de $\epsilon_{0}$ , sont les coordonnées polaires dans l’orbite intermédiaire du corps dont on examine le mouvement. (Gyldén 1881b, 1262) La position réelle est déterminée par le rayon vecteur vrai et la longitude réelle. La différence entre la longitude réelle $\nu$ et la longitude intermédiaire $\nu_{0}$ est désignée par Gyldén comme la variation. L’évection est la différence entre le rayon vecteur réel et le rayon vecteur intermédiaire.

Cependant les résultats que tu as obtenus sur l’intégration des équations différentielles du second ordre te font prendre peut-être un intérêt particulier aux équations différentielles de l’évection et de la variation, en dehors de l’application qui leur à été faite de l’équation de Lamé.¹³¹³ 13 Callandreau fait allusion aux travaux de Poincaré sur les fonctions fuchsiennes. En effet, si $x=f(z)$ une fonction fuchsienne alors les deux fonctions $y_{1}=\sqrt{\frac{df}{dz}}$ et $y_{2}=z\sqrt{\frac{df}{dz}}$ sont solutions d’une équation différentielle du second ordre : $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=y\varphi{x}$ où $\varphi$ est algébrique. Un des résultats essentiels aux yeux de Poincaré est que les fonctions fuchsiennes permettent de résoudre la plupart des équations différentielles du second ordre, en particulier “certaines équations à coefficient doublement périodique” (Poincaré 1881, 860) du genre de celle de Lamé. Dans la théorie de Gyldén, on obtient le rayon vecteur réel $r$ en multipliant le rayon vecteur intermédiaire $r_{0}$ par un facteur $\frac{1}{1-r_{0}\rho}$ où $\rho$ vérifie une équation du type $\frac{d^{2}\rho}{d\nu_{0}^{2}}+\rho(1+\Psi_{1})=\Psi_{0}+\Psi_{2}\rho^{2}+\Psi% _{3}^{3}+\ldots,$ où $\nu_{0}$ est la longitude intermédiaire et les fonctions $\Psi$ sont des séries “renfermant des termes périodiques et constants”. La variation vérifie une équation du type $\frac{d^{2}V}{d\nu_{0}^{2}}+\alpha^{2}\sin V\cos V=X.$ Ces deux équations seront au centre de la correspondance entre Poincaré et Lindstedt. Dans ce cas, tu trouveras les calculs indiqués avec quelques détails dans les C.R. de 1881: 30 Mai p. 1262¹⁴¹⁴ 14 Gyldén 1881b. et 14 Novembre p. 780¹⁵¹⁵ 15 Callandreau 1881. où la signification des notations est donnée

2 Mai p. 1033; 18 Juillet p. 127.¹⁶¹⁶ 16 Gyldén 1881c, 1881a.

J’ai aussi entre les mains un Mémoire en Suédois.¹⁷¹⁷ 17 Il peut s’agir de Gyldén (1875) ou de la note que cite Callandreau au début de sa thèse (Gyldén 1874). Je ne sais si je t’ai renseigné comme tu le désirais; mais si tu veux me dire à l’occasion les idées qui te viendront sur ce sujet, j’en serai très heureux.

Ton bien dévoué Camarade,

Octave Callandreau

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 4.05.2016 01:34"

Références

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