1-1-82. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

[1/3/1889]

Mon cher ami,

Je réponds d’abord aux observations de M. Weierstrass. Je crois que j’ai donné la démonstration du point en question dans la note A. Mais j’ai précisément égaré la feuille sur laquelle elle se trouve. Veuillez vérifier si mes souvenirs sont exacts et si la démonstration vous paraît suffisamment développée.

Venons à ce que vous me dites de M. Gyldén. M. Gyldén dit avoir démontré l’existence de solutions asymptotiques et nous, nous prétendons qu’il ne l’a pas fait.

D’où vient cela ! De ce que les mots démonstration et convergence n’ont pas le même sens pour lui et pour nous. M. Gyldén croit avoir démontré la convergence d’une série lorsqu’il a fait voir que les premiers termes vont en décroissant et qu’il est invraisemblable qu’un des 99 premiers termes par exemple ait une valeur très grande. Cela peut être très suffisant pour les applications astronomiques mais cela ne saurait contenter le géomètre.

Venons au détail.

Voici l’équation étudiée par M. Gyldén :

$$\frac{d^2\zeta }{d{t}^2}=\sum A\sin \left(a\zeta +bt+c\right)$$

(1)

/ A, a, b, et c étant des constantes qui dans les notations de M. Gyldén ont une expression assez compliquée. Il existe il est vrai d’autres arguments ${\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime }$, mais M. Gyldén les regarde provisoirement comme connus en fonctions du temps de sorte que nous pouvons les faire rentrer dans le terme bt. L’équation est ainsi ramenée au 2${}^d$ ordre. Il y aurait évidemment des objections à faire à cette façon de simplifier le problème ; mais il ne convient pas d’y insister, puisque elles sont de même nature que celles que soulève l’intégration de l’équation simplifiée elle-même. Considérons donc seulement l’équation (1) qui est de même forme que celles dont je me suis le plus occupé et qui correspondent au cas où il n’y a que 2 degrés de liberté.

M. Gyldén commence par faire un triage parmi les termes du second membre. Il met à part ceux qui lui semblent devoir jouer un rôle important et qu’il appelle caractéristiques. Voilà un premier exemple de cette intervention de l’appréciation personnelle, de la jugeote dont je vous parlais la dernière fois qui donne aux méthodes de M. Gyldén une grande souplesse mais ne me permet pas d’aborder une démonstration de la convergence.

M. Gyldén pose ensuite : (page 212)

$$\zeta =c+nt+Z_0+Z_1+Z_2+\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{\dots }$$

et il détermine $Z_0,Z_1$, etc. par une série d’équations analogues à (1) en s’arrangeant de telle façon que chacune d’elles ne contient qu’un seul terme caractéristique. /

Quant au menu fretin des termes non caractéristiques, il les répartit entre ces équations d’une façon arbitraire ; deuxième intervention de la jugeote. Chacune des équations est ensuite intégrée par le moyen des fonctions elliptiques ; mais est-elle intégrée définitivement ? Non, quand on aura intégré la première, puis la seconde, il faudra modifier la première et l’intégrer de nouveau et ainsi de suite. Voici en effet ce que dit à ce sujet M. Gyldén : page 243.

Bei dem Fortgange dieser Operationen muss man sich in denen erinnern dass bei der Bildung des Function ($\times$) Glieder entstehen können, von denen ein Theil mit vorhergehenden charact. Gliedern zu vereinigen sind und also die Werthe der vorhergehenden Modulen etwas verändern…

Ces retours en arrière doivent, ce me semble, prodigieusement agacer les calculateurs et j’ai cherché avec soin à les éviter. On les rencontre non seulement dans la méthode de M. Gyldén mais dans celle de Delaunay. Vous concevez sans peine qu’ils rendent impossible toute démonstration de convergence.

M. Gyldén arrive ensuite à une série (20) page 244 dont il dit qu’elle converge parce que

dit-il : die Verhältnisse

$$\frac{K}{K_1},\frac{K_1}{K_2},\mathrm{\cdots }$$

unseren Annahmen nach,… eine gegebene Grösse nicht übersteigen.

En réalité, cela veut dire que la série ne converge que si l’on suppose (unseren Annahmen nach) que ces rapports restent inférieurs à une certaine limite, et que si cela n’avait pas lieu il faudrait avoir recours à une autre méthode, celle qui est exposée pages 257 à 263. Mais comment pourra-t- / on savoir d’avance si cette condition est remplie ; puisque le module k calculé d’abord, va être incessamment modifié par les retours en arrière dont je parlais tout à l’heure et qu’il n’est pas certain qu’il ne va s’approcher indéfiniment de 1.

Mais ce n’est pas tout. La série (20) n’est pas l’expression complète de Z. On l’obtient en laissant de côté les termes provenant des termes non caractéristiques que M. [Gyldén] considère comme trop petits pour pouvoir altérer la convergence. Cela est-il légitime [?] De ce que ces termes sont très petits, il suit que leur influence ne sera pas sensible avant la 50${}^e$ approximation par exemple, mais non qu’elle ne le sera jamais, ni même qu’elle ne pourra pas devenir très grande.

Bornons-nous donc à une des équations qui donnent $Z_0,Z_1$, etc. c’est-à-dire à une équation de la forme (1) ne contenant qu’un seul terme caractéristique. La méthode de M. Gyldén consiste à appeler 2V l’argument de ce terme caractéristique et à écrire ensuite l’équation sous la forme :

$$\frac{d^{2}V}{d{t}^2}+A\sin 2V=\lambda X$$

A est une constante, $\lambda X$ représente l’ensemble des termes non caractéristiques et $\lambda$ un coeff[icient] très petit. (M. Gyldén ne met pas ce coeff[icient] en évidence de cette façon, mais il entre dans ses termes). Ensuite il développe V suivant les puissances croissantes de $\lambda$. Mais là encore il ne parvient pas à démontrer d’une façon satisfaisante la convergence de son procédé. Il est évident que les approximations / successives introduiront de nouveaux termes caractéristiques. Il est probable que s’il introduit de semblables termes, M. G[yldén] en tient compte comme des premiers et introduit de nouvelles équations de Lamé, qui vont encore nous forcer à modifier notre module premier et à retourner en arrière comme je l’ai expliqué plus haut. Il me paraît impossible de fonder là-dessus aucune démonstration rigoureuse de la convergence.

Les solutions asymptotiques correspondent au cas où l’un des modules devient égal à 1. M. Gyldén annonce que ce cas ne peut pas se présenter pour plus d’un module ; c’est là un point important sur lequel je crois nécessaire d’insister… Après avoir examiné à fond la démonstration que donne M. G[yldén] de son affirmation, j’ai reconnu qu’elle est suffisante bien que cela n’apparaît pas ainsi au premier abord. Il me semble toutefois que si M. G[yldén] avait dirigé son calcul comme il le fait dans le §II au lieu de le diriger comme il le fait dans le §III, il aurait pu rencontrer plusieurs modules égaux à 1 ; mais cela demanderait à être examiné de plus près. Voyons ce qu’il dit au sujet de la démonstration de la convergence (cf. dans mon mémoire 1^re partie, chapitre III, §5 et note E). M. G[yldén] dit page 261

die Glieder in $V_1$ mit dem Factor $e^{-\xi }$ oder mit ganzen positiven Potenzen dieser Grösse multiplicirt erscheinen und also mit wachsendem $\xi$ sehr rasch abnehmen … also schliessen wir dass die Darstellung / der Function $V_1$ immer convergent ist wenn $\xi$ auf positive Werthe beschränkt bleibt.

Ce qui revient à admettre le principe suivant :

Toute série procédant suivant les puissances croissantes d’une variable plus petite que 1 est convergente à moins qu’on n’ait des raisons sérieuses de douter de cette convergence.

Remarquons que cette série n’est qu’une première approx[imation] mais que les approx[imations] suivantes introduiraient des séries qui seraient de même forme.

M. G[yldén] n’a pas démontré la convergence de ses séries. Si sa démonstration est bonne pour les séries de la page 261 qui convergent effectivement, pourquoi ne l’est-elle pas pour les séries des pages 237, 243, etc. qui sont très probablement divergentes.

Le raisonnement par lequel M. G[yldén] croit pouvoir établir l’existence des solutions asymptotiques n’est pas plus rigoureux que celui par lequel Delaunay l’établissait avant lui, ni plus rigoureux que celui par lequel M. Lindstedt démontre qu’il n’y en a pas.

Allons bon ! Voilà que je suis encore obligé de retirer ce que je viens de dire, ce diable de M. G[yldén] est vraiment difficile à saisir et on découvre à chaque instant du nouveau. Je vous disais tout à l’heure que les raisons d’après lesquelles M. G[yldén] établit qu’un seul module pouvait / être égal à 1 me semblaient bonnes. Je ne le crois plus maintenant. Voici pourquoi. Reportez vous aux pages 260 à 261 de son mémoire. Nous y trouvons la formule (32) qui donne le terme de $V_1$ qui correspond au terme de X qui a pour coeff[icient] $P_0$. Envisageons le terme qui a pour coeff[icient] $P_1$ et qui s’écrit

$$-s{A}_1{P}_1\sin \phi \cos \left(2\lambda nt+2{\mathrm{\Delta }}_1\right).$$

Introduisons ce terme dans la formule (30) à la place de X nous aurons une formule analogue à (32) et dont le second terme s’écrira : (Remarquez que ce terme ne se détruira pas avec le 1^er)

$$V_1=\frac{\beta }{2{\alpha }^2}\frac{1}{e^{\zeta }+e^{-\zeta }}\int \cos \left(\frac{2{\lambda }_1}{\alpha }\zeta +H_1\right)\sin \phi \left(e^{\zeta }-e^{-\zeta }\right)𝑑\zeta$$

$\beta$ étant un coeff[icient] analogue à ${\beta }_1$. Si nous négligeons les puissances supérieures de $e^{-\xi }$, il vient :

$$\frac{1}{e^{\zeta }+e^{-\zeta }}=e^{-\zeta };\sin \phi \left(e^{\zeta }+e^{-\zeta }\right)=\frac{\sqrt{2}{e}^{-\zeta }}{\sqrt{1+e^{-2\zeta }}}\left(e^{\zeta }+e^{-\zeta }\right)=\sqrt{2}$$

d’où :

$$V_1=\frac{\beta }{2\sqrt{2}\alpha {\lambda }_1}{e}^{-\zeta }\sin \left(\frac{2{\lambda }_1}{\alpha }\zeta +H_1\right)$$

Le diviseur d’intégration est $\alpha {\lambda }_1$ et je ne vois aucune raison pour qu’il soit plus grand que ${\alpha }^2$ contrairement à ce que dit M. G[yldén] page 263 ligne 13 et 14. (M. G[yldén] objecterait que $e^{-\xi }$ devient très petit mais cela ne saurait suffire) Encore une remarque ; M. G[yldén] ne suppose nulle part que les quantités qu’il appelle $\lambda ,{\lambda }_1$, etc. soient commensurables entre elles ; or cette condition est nécessaire pour qu’il y ait une solution asymptotique. C’est la preuve que sa démonstration est insuffisante.

En relisant ma lettre je m’aperçois que j’ai l’air de / vouloir démolir complètement le mémoire de M. Gyldén ; ce n’est nullement mon intention ; j’y trouve de très belles choses ; j’ai cherché seulement à faire ressortir combien les mots démonstration et convergence ont un sens différent pour lui et pour nous. Le problème n’est abordé qu’au point de vue de l’astronomie purement pratique qui est peut-être le plus important, mais qui n’est pas le mien. Je crois que même à ce point de vue, mes méthodes seront plus simples et paraîtront telles quand je les aurai développées suffisamment ; mais peut-être est-ce moi qui ne comprends pas encore bien celles de M. G[yldén].

Pardon, mon cher ami, de vous imposer la lecture d’une lettre aussi longue et aussi décousue. Je voulais la jeter au feu ; car je vais vous en écrire une autre plus posément après avoir approfondi le mémoire de M. G[yldén]. Je vois que je ne le possède pas encore à fond puisque j’y trouve encore de temps en temps des sujets d’étonnement.

J’ai cru néanmoins devoir vous envoyer celle-ci de telle sorte que vous puissiez la lire et correspondre avec moi avant le 13 Mars.

Votre ami bien dévoué,

Poincaré

ALS 8p. IML 49, Mittag-Leffler Archives, Djursholm. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica (38, p. 164-169).