1. Mittag-Leffler à Poincaré

Stockholm. 31 Octobre 1883

Mon cher ami,

Votre mémoire m’est arrivé et je vous prie d’agréer l’expression de ma vive reconnaissance. J’admire autant votre facilité à travailler comme la profondeur de vos idées. Vous avez déjà écrit assez pour être placé entre les plus grands géomètres de tous les époques et de tous les pays.

Cette fois-ci on ne tardera qu’une semaine à commencer avec votre mémoire. J’ai donné l’ordre de laisser tout autre à côté pour venir au but le plus tôt possible avec votre travail. / Les corrections seront imprimées à la fin.

J’ai commencé enfin d’imprimer mon mémoire “sur la constitution analytique des fonctions uniformes et monogènes d’une variable indépendante.” J’obtiens par des considérations entièrement élémentaires des formules assez générales. Soit P un ensemble qui fait la limite complète d’un continuum A composé d’une seule pièce, et qui peut être mis sous la forme Q + Q’ où Q est un ensemble isolé.. Soit ensuite $\overline{\alpha }$ le premier nombre entier ou symbole de Cantor pour lequel

$$P^{\left(\overline{\alpha }\right)}=P^{\left(\overline{\alpha }+1\right)}$$

Mettez

$$P=P_1+P^{\left(\alpha \right)}.$$

Les points qui, réunis ensemble forment l’ensemble $P_1$ , peuvent toujours être arrangés en une série

$$a_1{a}_2\mathrm{\cdots }{a}_n\mathrm{\cdots }\mathrm{\cdots }$$

J’adjoins maintenant à chaque point $a_{\nu }$ de cette série une fonction

$$G_{\nu }\left(\frac{1}{x-a_{\nu }}\right)+g_{\nu }\left(x-a_{\nu }\right)$$

/ où $G_{\nu }$ est une fonction entière algébrique ou transcendante de $1/(x-a_{\nu })$ et $g_{\nu }$ une fonction entière algébrique de degré $m_{\nu }$ de $x-a_{\nu }$ . On peut alors constituer une expression analytique

$$F(x)=\sum _{\nu =1}^{\mathrm{\infty }}{F}_{\nu }(x)$$

qui a la qualité suivante. Cette expression représente au dedans de A une fonction monogène et uniforme qui se comporte partout d’une manière régulière. Dans le voisinage d’un point $a_{{\nu }_0}$ qui appartient à l’ensemble $P-P^{\prime }$ vous pouvez toujours mettre

$$F\left(x\right)=G\left(\frac{1}{x-a_{{\nu }_0}}\right)+g_{{\nu }_0}\left(x-a_{{\nu }_0}\right)+{\left(x-a_{{\nu }_0}\right)}^{m_{{\nu }_0}}\left(c_0+c_1\left(x-a_{\nu }\right)+\mathrm{\cdots }\right).$$

Si nous supprimons dans la série

$$\sum _{\nu =1}^{\mathrm{\infty }}{F}_{\nu }(\cdot )$$

tous les termes qui répondent aux points fermant l’ensemble

$$P-P^{\left(\alpha \right)}$$

où $\alpha$ est un nombre entier ou un symbole d’infini précédent $\overline{\alpha }$ vous obtenez encore une fonction uniforme et monogène qui se comporte d’une manière régulière partout en dedans de

$$A+P-P^{\left(\alpha \right)}$$

et qui peut se mettre / sous la forme

$$G_{{\nu }_{\alpha }}\left(\frac{1}{x-a_{{\nu }_{\alpha }}}\right)+g_{{\nu }_{\alpha }}\left(x-a_{{\nu }_{\alpha }}\right)+{\left(x-a_{{\nu }_{\alpha }}\right)}^{m_{{\nu }_{\alpha }}}\left(c_0+c_1\left(x-a_{{\nu }_{\alpha }}\right)+\mathrm{\cdots }\right)$$

dans le voisinage d’un point $a_{{\nu }_{\alpha }}$ appartenant à

$$P^{\left(\alpha \right)}-P^{\left(\alpha +1\right)}$$

Chaque fonction uniforme et monogène dont les points singuliers forment un tel ensemble P dont je vous ai parlé peut aussi toujours être mise sous la forme

$$F(x)={\sum }_{\nu }{F}_{\nu }(x).$$

J’obtiens plusieurs autres théorèmes dans le même genre.

Ma femme me prie de présenter ses hommages à Madame Poincaré et je vous prie d’agréer vous-même, mon cher ami, l’expression du profond dévouement et de l’admiration sincère de votre ami reconnaissant.

G. Mittag-Leffler

ALS 4p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.