Edvard Phragmén to H. Poincaré

le 20 mars 1890

Cher Monsieur,

En corrigeant les épreuves des feuilles 5–7 de votre mémoire que je vous envoie aujourd’hui, je vous prie de bien vouloir examiner en particulier les points suivants.

Il me semble que vous avez omis un point essentiel dans la démonstration des pages 17 et 18. En effet, ce qui permet de dire que si le théorème est vrai jusqu’à t=t0 il l’est encore pour des valeurs de t égales et supérieures à t0, c’est que le rayon de convergence du développement de la solution suivant les puissances de

t-t1

étant désigné par

R(t1,μ),

il existe une constante positive g et une fonction de t1 positive pour t1<t0, M(t1) telles que pour

t1<t0

et

|μ|<R(t1)

on a

R(t1,μ)>g.

C’est ce qu’on voit immédiatement en partant des principes les plus connus du calcul des limites. Aussi n’ai-je nullement la prétention de faire une addition à votre démonstration et ai-je seulement voulu attirer votre attention sur un point qu’il y aurait peut-être lieu de faire mieux ressortir.

A la page 19 il faudrait à la rigueur écrire les équations de la ligne 311Poincaré 1890; Lévy, dir., 1952, 274. sous la forme

dx1dt=x1,dx1dt=m2(x2-x1)r123+m3(x3-x1)r133

Le cas d’exception se présentera donc toutes les fois qu’un r vient à s’annuler, ou qu’un x1 ou un x1 devient infini. Mais il est vrai que l’intégrale des forces vives nous montre, si l’on se borne à des valeurs réelles des variables que x1 ne peut devenir infini sans que r s’annule.

Peut-être jugerez vous convenable d’intercaler un mot pour rappeler cela.

Je ne comprends pas bien la seconde démonstration du théorèmes II (page 21). Je ne doute pas que le théorème peut être démontré de cette manière à condition qu’on évite les différentiations par rapport à t, par lesquelles on introduit, en partant des éq[uations] (4), des termes qui n’ont pas de correspondants dans les éq[uations] dérivées des éq[uations] (5). Je pense en particulier à une méthode due à M. Lipschitz. Mais alors il semble insuffisant de renvoyer à Cauchy tout simplement.

Veuillez agréer, cher Monsieur, l’expression des sentiments les plus distingués de votre dévoué

E. Phragmén

ALSX 4p. Institut Mittag-Leffler, Djursholm.

Time-stamp: "27.04.2014 00:32"

Références