1-1-70. Gösta Mittag-Leffler to H. Poincaré

Stockholm 15/11 1888¹¹ 1 Cette lettre est recopiée par un copiste. Outre l’original, on dispose du brouillon (Brefkoncept 1156).

Mon cher ami,

MM. Hermite, Weierstrass et moi-même nous sommes enfin arrivés au bout avec l’étude de votre mémoire. Je me permett[e]rai de vous confier sous le sceau du plus grand secret que nous sommes de l’opinion unanime que vous avez fait de nouveau un chef d’œuvre de première genre et que la publication de votre mémoire sera le commencement d’une nouvelle époque dans la mécanique céleste. Mais je ne veux point vous cacher que l’étude de votre œuvre nous a paru offrir des difficultés fort grandes. Vous omettez très souvent les / démonstrations des théorèmes très générals et très difficiles ou vous donnez des indications tellement courtes qu’il faut se tourmenter pendant des jours avant qu’on parvient à mesurer au juste la profondeur de vos idées.²² 2 Dans les lettres adressées à Mittag-Leffler les 17 et 22 octobre, Hermite exprime la même opinion sur le mémoire de Poincaré : Le mémoire de M. Poincaré est d’une profondeur et d’une puissance d’invention bien rares, il fera certainement époque dans la science tant au point de vue de l’analyse que des conséquences astronomiques. Mais des développements beaucoup plus étendus seraient bien nécessaires et je suis au moment de prier l’éminent auteur de me donner des éclaircissements sur plusieurs points d’importance. (Dugac 1985, 146) Je vous dois l’aveu bien formel qu’en lisant le mémoire de M. Poincaré, je me suis moins attaché à approfondir les démonstrations de ses théorèmes et à en vérifier l’exactitude qu’à me rendre compte de leur importance. C’est sous l’impression d’un sentiment profond d’admiration pour l’invention qui brille d’un éclat si vif dans ce mémoire que je vous ai écrit il y a quelques jours, et je ne doute pas que vous partagiez vous et M. Weierstrass. Mais il faut bien le reconnaître, dans ce travail comme dans presque toutes ses recherches, M. Poincaré montre bien la voie et donne des indications, mais laisse considérablement à faire pour combler les lacunes et compléter son œuvre. Souvent, Picard lui a demandé, sur des points d’une grande importance dans ses articles des Comptes Rendus, des éclaircissements et des explications, sans pouvoir jamais rien obtenir qu’une affirmation : « c’est ainsi, c’est comme cela », de sorte qu’il semble comme un voyant auquel apparaissent les vérités dans une vive lumière, mais en grande partie pour lui seulement. Quelle différence à l’avantage des inventeurs d’une autre époque : Euler, Lagrange et de nos jours, Gauss et Jacobi, qui sont admirables par la simplicité, la clarté, en même temps que la profondeur ! N’ayant pas l’ombre d’un doute sur la vérité complète et absolue des résultats de M. Poincaré, je dois reconnaître que ce peut être un devoir de justice d’exprimer des réserves sur ce que les démonstrations laissent à désirer, et d’insister à cet égard sur ce qu’a d’incomplet le mémoire que le rapport proposera comme devant recevoir le prix. (Dugac 1985, 147) M. Weierstrass m’a demandé si je n’osais pas vous proposer vu[e] l’amitié dont vous m’avez honoré depuis longtemps de vouloir bien ajouter à votre mémoire avant qu’il soit publié quelques développements sur les points essentiels qui ont été traités jusqu’ici d’une manière trop brève.³³ 3 On connaît les premières impressions de Weierstrass sur un certain nombre de mémoires présentés au concours par une lettre adressée à Mittag-Leffler le 5 novembre 1888 (IML) qui constitue son rapport préliminaire. On en trouve une copie de cette lettre dans celle envoyée par Mittag-Leffler à Hermite le 21 novembre 1888 (AS) (la lettre acompagnatrice de Mittag-Leffler semble perdue). Il est joint au rapport de Weierstrass, une copie et une traduction d’une lettre de Schwarz rapportant sur le mémoire de Appell. Des extraits de ce rapport sont publiés dans l’article que Mittag-Leffler consacrera à la biographie de Weierstrass (Mittag-Leffler 1911) : 1. Die Abhandlung: “Sur la formule sommatoire d’Euler” ist eine zu unbedeutende Arbeit als dass sie in Betracht kommen könnte, selbst wenn sie keine Fehler enthielte.
2. Die umfangreiche Schrift: “Über die Bewegungen in einem Systeme von Massenpunkten mit Kräften der Form $-1/r^{2}$ ” enthält eine philosophische-physikalische Untersuchung über die Gesammtheit der Naturerscheinungen, die aus einer Grundhypothese erklärt werden sollen, und zwar nur mit Hülfe sehr weniger und ganz elementarer Rechnungen. Ich bin als Mathematiker nicht competent, über den Werth, welcher die Arbeit für die Physik haben mag, ein Urtheil abzugeben, da aber bei Auschreibung des Preises die ausdrücklich ausgesprochene Absicht vorgewaltet hat, die Mathematiker zu Untersuchungen zu veranlassen, durch welche eine wesentliche Förderung der Analysis herbeigeführt werde, und in dieser Beziehung die in Rede stehende Schrift absolut gar nichts leistet, so ist sie nach meiner Ansicht von der Concurrenz um den Preis auszuschliessen.
3. Über die Abhandlung “Über die Integration der Differentialgleichungen, welche die Bewegungen eines Systems von Punkten bestimmen” werde ich mich weiter unten aussprechen und bemerke hier nur, dass auch sie mir nicht preiswürdig erscheint.
4. Über die ausführliche Abhandlung: “Sur les intégrales de fonction à multiplicateurs etc” hat sich Herr Schwarz, dem ich sie mit Ihrer Zustimmung anvertraut hatte, recht günstig ausgesprochen. Ich lege sein Gutachten, dem ich mich anschließe, bei, und bin entschieden der Ansicht, dass diese Arbeit jedenfalls eine ehrenvolle Erwähnung verdient, sowie die Aufnahme in die Acta, falls der Verfasser damit einverstanden ist.
5. Die Abhandlung: “Sur le Problème des trois corps et les équations de la Dynamique” (mit dem Motto: Nunquam praescriptos transibunt sidera fines) ist unbedingt eine Arbeit von grosser Bedeutung, wenn sie auch nicht eine Lösung des allgemeinen Problems enthält, auf das sich die erste der gestellten Preisfragen bezieht, sondern nur einen speciellen Fall desselben behandelt. Es war aber ausdrücklich freigestellt, falls die gestellte Aufgabe Schwierigkeiten darbieten sollte, die zur Zeit nicht zu überwinden wären, derselben ein anderes bedeutendes Problem der Dynamik zu substituiren, und es würde deshalb, wenn auch die Arbeit nur für den behandelten besonderen Fall die Lösung der — bisher noch in keinem Falle des Dreikörperproblems erledigte — Stabilitätsfrage brächte, zu erwägen sein, ob dies nicht eine so erhebliche Leistung sei, dass die Arbeit gekrönt werden könne. Dieselbe leistet aber viel mehr. Die Astronomen zwar werden von ihr nicht sehr erbaut sein, nicht bloss, weil für die Bedürfnisse der praktischen Astronomie unmittelbar kein Gewinn aus ihr zu ziehen ist, sondern auch, weil sie Illusionen zerstört, denen man sich lange hingegeben hat, und manches, anscheinend sicher begründetes Ergebnis der bisherigen Untersuchungen als unhaltbar nachweist.
So z. B. ist die Behauptung Laplace’s — die man in jedem Lehrbuch der Astronomie wiederholt findet, auch noch im Kosmos, wo sie als Resultat tiefer analytischer Forschung hingestellt wird — dass das Planetensystem dem Zerfalle preisgegeben sein würde, wenn die mittleren Bewegungen zweier Planeten commensurabel wären, so wenig aufrecht zu halten, dass vielmehr die Möglichkeit besteht, dass die Bewegungen des ganzen Systems periodisch sei im strengen Sinne des Worts. Noch mehr Aufsehen — wohl auch Bedauern — wird der Nachweis erregen, dass es unmöglich sei — was von Newcomb, Lindstedt u. A., mit anscheinendem Erfolge versucht worden ist — die Coordinaten der Planeten in convergirende Reihen von der Form $\sum\limits_{\nu_{1},\nu_{2}}A_{\nu_{1},\nu_{2}}\begin{array}[]{*{20}c}\cos\\ \sin\end{array}\Bigl{(}\nu_{1}c_{1}+\nu_{2}c_{2}+\cdots\Bigr{)}t$ zu entwickeln, wo $t$ die Zeit und $c_{1}$ , $c_{2}$ , … , $A_{\nu_{1},\nu_{2}}$ , … Constanten bedeuten. Aber gerade auf diesen “résultats négatives” scheint mir der Hauptwerth der Untersuchung zu beruhen, indem daraus unwiderleglich hervorgeht, dass zur Lösung des Problems der n Körper ein ganz anderer Weg als der bisher betretene eingeschlagen werden muss, wenn es sich darum handelt, dass dadurch unsere Einsicht in den Bau des Weltsystems wirklich gefördert werde. Freilich ist meine Hoffnung, dass dies Ziel schon jetzt als ein erreichbares sich erweisen werde — eine Hoffnung, die sich hauptsächlich auf die bekannten Mittheilungen über die letzten, auf die Probleme der Dynamik bezüglichen Arbeiten Dirichlet’s sich stützte — durch die Schrift bedeutend herabgestimmt worden. Aber immerhin ist es ein nicht gering anzuschlagender Gewinn, dass die eigentlichen Schwierigkeiten des Problems jetzt klarer als bisher dargelegt worden sind.
Indessen enthält die Schrift auch positive Resultate von sehr bedeutender Wichtigkeit. Dahin rechne ich ausser der schon erwähnten Lösung der Stabilitätsfrage in einem besonderen Falle — u.a. die im ersten Capitel entwickelte “Theorie des Invariants intégrales” sowie die im 2ten Capitel behandelte “Théorie des solutions périodiques” — es sind dies Untersuchungen, welche überhaupt für die Erkenntniss des analytischen Charakters der durch algebraische Differentialgleichungen definirten Functionen einer Variabeln von Bedeutung sind. Ganz besonders möchte ich aber hervorheben, was im zweiten Theile der Schrift in Betreff der “asymptotischen Bewegungen” ermittelt worden ist. Abgesehen von dem Gebrauch, der von den Resultaten dieser Untersuchung in dem im folgenden Capitel behandelten, schon erwähnten speciellen Falle gemacht wird, lehren sie, dass selbst in dem Falle, wo mehr als zwei nach dem Newton’schen oder auch nach einem anderen Gesetze sich anziehende Körper sich so bewegen, dass der Abstand je zweier derselben beständig zwischen zwei endlichen Grenzen bleibt, Bewegungsformen existiren, von denen wir bisher kaum eine Ahnung hatten und für welche wir auch die entsprechende (von $t=-\infty$ bis $t=+\infty$ gültig bleibende) analytische Darstellungsform noch nicht kennen, in Betreff welcher nur feststeht, dass sie nicht die Gestalt trigonometrischer Reihen haben kann. (IML) Je réponds à M. Weierstrass que je n’hésite pas à vous écrire là-dessus parce que je sais bien que vous ne me prendrez pas mal des propositions qui sont faites dans l’intérêt seul de la science et pour faciliter la propagation de vos idées.

Parmi ces points qui me sont parus devoir être / plus approfondis est d’abord votre proposition que des développements dans le genre de ceux de M. Lindstedt sont divergents.⁴⁴ 4 Lindstedt obtenait par une méthode d’approximation des séries trigonométriques qui satisfont formellement aux équations du mouvement. Poincaré affirme dans son mémoire que ces séries ne peuvent être uniformément convergentes et donc fournir l’intégrale générale des équations de la dynamique. Il montre que si les séries de Lindstedt étaient convergentes, les exposants caractéristiques qu’admet une solution périodique, seraient nuls ce qui est impossible dans le cas du problème des trois corps. Ce résultat négatif sera conservé après la découverte de l’erreur dans le mémoire original de Poincaré. J’ai passé tout un mois cet été chez M. Weierstrass occupé uniquement de l’étude de votre mémoire.⁵⁵ 5 Mittag-Leffler évoque son séjour chez Weierstrass dans son article biographique de 1923 / J’ai passé moi-même plusieurs semaines chez Weierstrass à Wernigerode pour étudier avec lui les mémoires de concours pour le prix du roi Oscar. (Mittag-Leffler 1923, 198) Quand je suis parti, nous ne sommes pas encore arrivés à saisir comment vous démontrez ces propositions. M. Weierstrass m’écrit maintenant qu’il s’est persuadé que vous avez raison.⁶⁶ 6 Dans sa lettre adressée à Mittag-Leffler le 15 novembre 1888 (voir note 2), Weierstrass considère que l’impossibilité d’obtenir des développements convergents des coordonnées des mouvements des planètes est un des résultats les plus importants du mémoire de Poincaré. Mais je crois que le mémoire gagnerait beaucoup si vous voulez traiter en détail ce point qui sera, vous n’en pouvez pas douter, fort discuté. Un autre point sur lequel je voudrai fixer votre attention, c’est celui-ci : Dans le cas du problème des trois corps dont vous êtes parvenu à donner la résolution complète, vous exprimez cette solution sous une forme qui sera difficilement comprise par d’autres que ceux qui ont tout à fait approfondi votre / travail et que les astronomes par exemple ne comprendront guère. Cela tient, je crois, principalement à cette circonstance que la multiplicité à trois dimensions que vous regardez n’est pas l’espace ordinaire dans laquelle les corps se trouvent. Ne voulez vous pas traduire vos résultats de telle manière que vos propositions sont directement valables pour l’espace ordinaire ?⁷⁷ 7 Poincaré limite son étude au problème restreint des trois corps. Dans ce cas, ils se meuvent dans un plan. Poincaré considère donc le mouvement d’un point matériel dans un plan ; autrement dit, il étudie un problème à deux degrés de liberté. La situation du système est donc décrite par quatre variables (deux de position et deux de vitesse). Celles-ci sont liées par l’intégrale dite de Jacobi et on peut travailler dans un espace à trois dimensions. Nous connaissons une intégrale des équations qui est la suivante :
(2) $F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=C,$ C désignant la constante des forces vives. Si cette constante est regardée comme une des données de la question, les quatre quantités x et y ne sont plus indépendantes ; elles sont liées par la relation (2). Il suffira donc, pour déterminer la situation du système, de se donner arbitrairement trois de ces quatre quantités. Il devient possible, par conséquent, de représenter la situation du système par la position d’un point P dans l’espace. (Poincaré, p. 98 de la première impression du mémoire conservé á l’IML ; 1952, 396–396) Poincaré rédigera une note (p. 174–183 de la première impression du mémoire conservé á l’IML) dans laquelle il reprendra “l’énoncé des principaux résultats obtenus dans ce mémoire, en les exprimant dans le langage habituel de l’astronomie” (voir § 71). Cela ne sera pas difficile n’est ce pas ?

Faut-il vous envoyer le mémoire ou avez vous gardé une copie ? Si tôt que vous me le renvoyez je commencerai à l’imprimer. La décision du roi sera fait connu le 21 Janvier et je vous informerai alors officiellement du résultat qui n’est point douteux. On est déjà occupé à faire la médaille. C’est M. Weierstrass qui fera le rapport.⁸⁸ 8 La lettre que Weierstrass envoie le 5 novembre 1888 à Mittag-Leffler constitue un début de rapport sur le mémoire de Poincaré (voir note 2). Dans celle du 19 novembre, il demande qu’une traduction soit envoyée à Hermite et qu’il a tenu compte de certaines remarques de ce dernier. Weierstrass ne rédigera pas son rapport aussi vite puisque celui-ci ne sera toujours pas envoyé au moment de l’annonce officielle des résultats du concours : Comment a-t-il pu se faire qu’après vous avoir annoncé, ainsi que vous me l’avez écrit, l’envoi de son rapport sur Poincaré, qui est d’une importance capitale et qui sera lu avidemment par tous les géomètres, M. Weierstrass se soit résolu à faire attendre le Roi, et le monde mathématique, jusqu’au commencement de février. (Lettre de Hermite à Mittag-Leffler datée du 26 janvier 1889 — Dugac 1985, 157–158) Dans sa lettre adressée à Mittag-Leffler le 19 novembre 1888, Weierstrass exprimait déjà son souci de rédiger son rapport sans offrir la moindre prise à la critique (en particulier celles de Kronecker et de Gyldén) : Sie können sich übrigens gefasst darauf machen, dass unsere Entscheidung von mehr als einer Seite einer sehr scharfen Kritik wird unterworfen werden. (Mittag-Leffler 1911, 52 – IML) Le 8 janvier 1889, il annonce à Mittag-Leffler qu’il reprend la rédaction de son rapport et qu’il a passé beaucoup de temps à étudier le mémoire de Poincaré mais qu’il lui reste des doutes sur certains points : Übrigens habe ich bis zu Weihnachten hin fast meine ganze Zeit auf das Studium der in Rede stehenden Abhandlung verwandt. Sie ist sehr schwer zu lesen. [… ] Ich bin noch auf manche Bedenken gestossen und in Betreff mehrerer Punkte auch jetzt noch nicht völlig im Klaren. (Mittag-Leffler 1911, 53 – IML) Weierstrass ajoute que contrairement à Hermite, il ne pense pas que les questions les plus importantes et les plus difficiles du problème des n corps aient été réglées. Au contraire, même si les résultats de Poincaré sont très importants, seul un cas très particulier est traité et en conséquence, son rapport ne peut être dithyrambique. En particulier, Weierstrass exprime ses réticences à admettre la définition de Poincaré de la stabilité dont selon lui, il n’y a rien à dire d’un point de vue mathématique, mais qui ne correspond pas ni aux hypothèses physiques, ni à la lettre des termes de la question n°4 (voir § 75, note LABEL:fn:mittag-leffler75-ipsqc). Le 2 février 1889, Weierstrass annonce qu’il est en train de terminer son rapport en justifiant tous les aspects de la rédaction de la question qu’il a posée : Meinen Bericht werde ich bis Ende nächster Woche festgestellt haben. Was ihn mir schwer gemacht hat ist der Umstand, dass ich es für notwendig gefunden, die Stellung der Preisfrage, welche von verschiedenen Seite her angefochten worden ist, zu rechtfertigen, ohne dass es aussieht als eine Abwehr von Angriffen. (Mittag-Leffler 1911, 57 – IML) Finalement, Weierstrass enverra un début de rapport le 6 mars 1889 (Mittag-Leffler 1911, 63–65). Par contre, tant en raison de sa santé déclinante que de ses réserves de plus en plus nettes à l’égard du mémoire de Poincaré, Weierstrass ne réussira pas à terminer son rapport. Le 14 mai 1889, Mittag-Leffler avertit Weierstrass que l’on attend plus que son rapport : Wir sind nach ein paar Tage mit dem Drucken von Poincaré fertig, warten nur auf Ihren Bericht, welcher an der Spitze stehen sollte. (IML) Le 12 juin 1889, Weierstrass réaffirme qu’à ses yeux, l’impossibilité d’exprimer les solutions du problème des trois corps sous forme de séries trigonométriques convergentes alors que le système est stable, est un des résultats les plus importants du travail de Poincaré. Weierstrass parle alors du compte rendu qu’il en a fait : [… ] wie ich in meiner Rezension der Preisschrift hervorgehoben. (IML) Weierstrass doit faire allusion à sa lettre du 5 novembre 1888 (voir note 2). On peut penser que le reste du rapport ne sera jamais rédigé. Ainsi, il exprime encore ses hésitations et ses doutes dans une lettre adressée à Kovalevskaia le 5 février 1890, juste avant d’apprendre la nouvelle de l’erreur de Poincaré dans le mémoire original : Nun noch etwas über eine Angelegenheit, die auch sehr drückt. Ich hatte versprochen, über die Poincaré’sche Preisschrift ein ausführliches Referat auszuarbeiten, das mit abgedruckt werden sollte. Einen Theil davon hat Mittag-Leffler schon lange in Händen. Bei der Fortsetzung stiess ich auf Schwierigkeiten; es entstanden mir Zweifel an der Richtigkeit und Genauigkeit mehrerer von Poincaré ausgesprochener Resultate. Dann erkrankte ich und musste die Arbeit vorläufig ganz zurücklegen. Ich hatte gehofft, durch Besprechungen mit Phragmén mit der Sache in’s Reine zu kommen. Leider musste ich darauf verzichten, und gegenwärtig ist keine Aussicht vorhanden, dass ich sobald meine Gedanken auf wissenschafliche Gegenstände werde richten können. (Bölling 1993, 404) D’abord c’est lui qui a mis la question et après c’est donc très heureux qu’il sera justement le premier des géomètres allemands / qui rend cet hommage à un français.

Madame Mittag-Leffler me prie de la rappeler au bon souvenir de Madame Poincaré à laquelle je présente de même mes hommages respectueux.

Ne me prenez pas mal mes confidences et agréez l’expression d’amitié affectueuse de votre dévoué

Mittag-Leffler

ALS 5p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Références

R. Bölling (1993) Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und Sofia Kowalewskaja. Akademie Verlag, Berlin. Cited by: footnote 8.
P. Dugac (1985) Lettres de Charles Hermite à Gösta Mittag-Leffler (1884–1891). Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 6, pp. 79–217. External Links: Link Cited by: footnote 2, footnote 8.
J. R. Lévy (Ed.) (1952) Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 7. Gauthier-Villars, Paris. External Links: Link Cited by: footnote 7.
G. Mittag-Leffler (1911) Zur Biographie von Weierstrass. Acta mathematica 35, pp. 29–65. External Links: Link Cited by: footnote 3, footnote 8.
G. Mittag-Leffler (1923) Weierstrass et Sonja Kowalevsky. Acta Mathematica 39, pp. 133–198. External Links: Link Cited by: footnote 5.