1-1-7. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

Paris, le 26 Juillet 188111Paris-26 juillet — Helsingfors-31 juillet.

Mon cher ami,

Je vous remercie beaucoup de votre lettre et des preuves d’amitié que vous voulez bien me donner.

Je ne comprends pas bien ce que vous me dites au sujet de l’équation :

u1F1dzdu1+u2F2dzdu2++unFndzdun=z.

Vous dites que l’intégrale est

z=C.u1

Cela ne serait exact que si F1 était identiquement égal à 1. Or, ce n’est pas cela que j’ai supposé ; j’ai supposé seulement que F1 se réduit à 1 quand on annule tous les u. Il est vrai que dans le premier exemple que je vous avais envoyé, par suite d’une erreur que je vous prie de me pardonner j’avais pris F1= identiquement 1. Il n’en était pas de même du second.

Si vous voulez bien, je vais prendre un autre exemple très simple, et calculer seulement les premiers termes de l’intégrale.

Je prends deux variables seulement u1 et u2 ; Soit :22Variante : ‘‘u3λ3dz/du3’’. Poincaré se proposait d’analyser dans un premier mouvement, un exemple à 3 variables puisque son exemple à deux variables est obtenu en rayant le dernier terme du premier membre de l’équation : u1(1+u2)dzdu1+u2λ2dzdu2+u3λ3dzdu3=z. Poincaré poursuivait en écrivant le développement général d’une fonction à 3 variables.

u1(1+u2)dzdu1+u2λ2dzdu2=z.

Je pose :33Variante. L’équation suivante est barrée : z=α1u1+α2u2+α3u3+β1u12+β2u22+β3u32+γ1u2u3+γ2u1u3+γ3u1u2+δ1u13+δ2u23+δ3u33+ε1u12u3+ε.

z=α1u1+α2u2+β1u12+β2u1u2+β3u22+γ1u13+γ2u12u2+γ3u1u22+γ4u23+δ1u14+δ2u13u2+δ3u12u22+δ4u1u23+δ5u24+,

et j’obtiens par la méthode des coefficients indéterminés

α1 =α1, λ2α2 =α2, 2β1 =β1,
β2(1+λ2)+α1 =β2, 2β3λ2 =β3, 3γ1 =γ1,
2γ2+2β1+λ2γ2 =γ2 γ3+β2+2λ2γ3 =γ3, 3λ2γ4 =γ4,
4δ1 =δ1, 3δ2+3γ1+λ2δ2 =δ2, 2δ3+2γ2+2λ2δ3 =δ3,
δ4+γ3+3λ2δ4 =δ4, 4λ2δ5 =δ5.

d’où l’on tire, en supposant arbitrairement α1=1 ;

α2 =0 β1 =0 β2 =-1λ2 β3 =0 γ1 =0 γ2 =0
γ3 =12λ22 γ4 =0 δ1 =0 δ2 =0 δ3 =0 δ4 =-16λ23 δ5 =0

d’où:

z=u1-u1u2λ2+u1u222λ22-u1u236λ23+.
44Et donc : z =u1k1k!(-u2λ2)k =u1e-u2λ2.

On pourrait évidemment trouver l’intégrale de la façon suivante;55Poincaré propose d’utiliser une méthode de variation de la constante, méthode qu’il utilisera dans le cas général (voir § 1-1-8). posant z=tu1 il vient :

t(1+u2)+u1(1+u2)dtdu1+u2λ2dtdu2=t,

dont une intégrale s’obtient simplement en posant :

t+λ2dtdu2=0,

d’où :

t=e-u2λ2,

de sorte que l’intégrale holomorphe s’écrit :

z=u1e-u2λ2,

multiplié par une constante.

Dans cet exemple, en posant ensuite

λ2=x-α2

comme je le fais dans ma note, on n’aurait pas d’espace lacunaire66Comme Poincaré vient de le montrer, les équations de récurrence vérifiées par les solutions de l’équation différentielle admettent des solutions indépendamment de la valeur de λ2. Dans ce cas, la solution est une fonction du paramètre x qui ‘‘existe partout sauf en des points isolés. Il n’y a pas d’espace lacunaire’’ (Poincaré 1883; Valiron 1950, 29). Cela n’arriverait que dans des cas plus compliqués. Mais ce qui précède suffira, je pense, pour vous faire comprendre comment il faudrait conduire le calcul dans tous les cas possibles.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’expression de mon amitié sincère et de mon estime pour votre talent.

Poincaré

ALS 3p. IML 4, Mittag-Leffler Archives, Djursholm. Un extrait a été publié dans Acta mathematica 38, 152.

Time-stamp: "19.03.2015 01:53"

Références