1-1-47. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

[28/4/1885]11Date du cachet de la poste de Paris. Paris-28 avril — Stockholm-1er mai.

Mon cher ami,

Je vous enverrai dans quelque temps, dans un mois peut-être un travail sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation,22(Poincaré 1885a, 1952, 40–140). Dans ce mémoire, Poincaré reprend le vieux problème des figures d’équilibre d’une masse fluide. Il montre l’existence de nouvelles séries de figures d’équilibre obtenues par bifurcation à partir des ellipsoïdes de Jacobi. Pour plus de détails, on peut consulter (Gharnati 1996). Le 5 mai 1886, le journal Le Temps rend compte de la dernière livraison des Acta mathematica et résume le travail de Poincaré : Les mathématiques prennent bien rarement place dans nos comptes rendus, non pas que nous méconnaissions leur importance, mais à cause des difficultés inhérentes à leur exposition et à l’intelligence des questions qu’elles traitent. Nous saisissons donc avec empressement l’occasion de signaler le dernier cahier des Acta mathematica (cahier 4, tome VII) recueil international, fondé à Stockholm, en 1882, par M. Mittag-Leffler, et qui est devenu, grâce au dévouement du directeur et à la protection d’un souverain éclairé, l’un des premiers journaux de mathématiques du monde. Le cahier contient une note de M. Pincherlé sur une intégrale définie, un travail de M. Runge sur la représentation des fonctions arbitraires, et un mémoire de M. Poincaré sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, que M. Hermite déclare une œuvre d’analyse mathématique d’un mérite hors ligne. Tous les astres semblent avoir été originairement fluides ; tous sont animés d’un mouvement de rotation. Quelles sont les figures d’équilibre possibles de ces masses, sous l’influence de l’attraction newtonnienne et de la force centrifuge ? En supposant ces masses homogènes, on sort des conditions réelles, mais on arrive à des solutions certaines depuis longtemps acquises : il existe deux formes d’équilibre qui sont l’ellipsoïde de révolution et l’ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi.
Ces ellipsoïdes sont-ils stables ? Y-a-t-il d’autres figures possibles ? Une jeune russe, Mme Kowalevski, nommée récemment professeur à l’Université de Stockholm a la première appliqué à cette question les ressources de l’analyse moderne et démontré qu’une masse fluide peut prendre des figures d’équilibre non-ellipsoïdales, mais annulaires, dont M. Poincaré a repris l’étude.
Cette étude peut jeter quelques lumières sur la mystérieuse nature des anneaux de Saturne. M. Clerk Maxwell a fait voir que ces anneaux ne peuvent être solides et que leur densité ne peut surpasser le 1/300e de celle de la planète. D’autre part, M. Poincaré conclut que les anneaux ne peuvent être stables que si leur densité est au moins égale au 1/16e de celle de Saturne ; ce qui confirme l’hypothèse de M. Trouvelot suivant laquelle les anneaux seraient formés d’une multitude de satellites extrêmement petits.
Enfin, M. Poincaré montre qu’entre les figures d’équilibre ellipsoïdales et annulaires, il y en a une infinité d’autres, mais dont une seule est stable. Si on imagine une masse fluide se contractant par refroidissement, assez lentement pour rester homogène, d’abord presque sphérique, elle s’applatit de plus en plus, en conservant la forme d’un ellipsoïde de révolution. Puis, l’équateur cesse d’être circulaire, devient elliptique ; la masse prend la forme d’un ellipsoïde à trois axes inégaux. Ensuite, l’ellipsoïde se creuse dans sa partie médiane ; l’une de ses moitiés tend à s’allonger de plus en plus et l’autre à se rapprocher de la forme sphérique. Enfin, tout porte à croire que, le refroidissement continuant encore, la masse se partagerait en deux corps distincts et inégaux.
Il serait prématuré de tirer de là des conséquences astronomiques car on ne doit pas oublier que la nébuleuse primitive d’où Laplace fait sortir notre monde solaire était fort loin d’être homogène et l’homogénéité est l’hypothèse sur laquelle se fondent les résultats de l’analyse.
que je vais commencer à rédiger et où je chercherai, comme dans une note récente des Comptes Rendus,33(Poincaré 1952, 14–16). Durant l’année 1885, Poincaré publiera d’autres notes consacrées au même problème : deux aux Comptes rendus (1952, 34–36) et (1885d, 1952, 37–39) et deux autres dans le Bulletin astronomique (1885b et 1885c). à déterminer / les figures d’équilibre peu différentes de l’ellipsoïde. Peut-être voudrez vous bien l’insérer aux Acta.

Je n’ai pas encore reçu les tirages à part de mon travail sur le théorème de M. Fuchs.44Poincaré 1885e, 1934, 4–31. Peut-être ont-ils été retenus au Ministère de l’Intérieur comme écrits socialistes.55Poincaré fait allusion aux difficultés que le Ministère de l’Intérieur avait faites au sujet des tirés-à-part de son article sur les groupes fuchsiens. Voir § 34.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de sentiments affectueux et vous charger de présenter à Madame Mittag-Leffler les compliments de ma femme et l’expression de mon respect.

Poincaré

ALS 2p. IML 26, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "19.03.2015 01:53"

Références