1-1-46. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

Paris 20/1 188511Paris-20 janvier — Stockholm-23 janvier. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica 38, p. 158-160.

Mon cher ami,

Voici la solution de la question22La question posée par Mittag-Leffler doit concerner le premier mémoire de Poincaré sur les groupes fuchsiens (1882, 1916, 108–168). Poincaré a ramené le problème de leur détermination à celui de ‘‘subdiviser d’une façon régulière le plan, ou une partie du plan, en une infinité de régions toutes congruentes entre elles’’, autrement dit de déterminer les pavages hyperboliques (voir note 1-1-46. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler). Il appelle ‘‘domaine fondamental’’ d’une telle subdivision le polygone hyperbolique élémentaire qui engendre le pavage. On passe d’un pavé à un autre par les éléments du groupe fuchsien. Deux côtés du polygone élémentaire sont dits ‘‘conjugués’’ s’ils sont liés par une des substitutions du groupe (voir note 1-1-46. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler). Poincaré montre que les substitutions d’un groupe fuchsien sont engendrées par un système fini d’entre elles, celles qui associent deux côtés conjugués d’un domaine fondamental. Par contre, il ne montre pas directement que ce système est minimal ce qui est l’objet de la question de Mittag-Leffler. En effet, un groupe discontinu est décrit par un ensemble de générateurs et un ensemble de relations. Poincaré établit que son système générateur est minimal, donc fondamental, en montrant que l’on peut obtenir toutes les relations : Puisqu’on trouve ainsi toutes les relations [… ], les substitutions sont généralement indépendantes et par conséquent forment un système de substitutions fondamentales du groupe envisagé. (1916, 122) dont vous m’aviez parlé.33Mittag-Leffler était avec son épouse à Paris durant le mois de janvier.

Soient a1,a2,an , n des côtés du polygone R044Poincaré associe à chaque élément du groupe fuchsien, une région du plan. La région R0 correspond à f0, l’identité et la région Ri à fi. [… ] nous réserverons le nom de groupes fuchsiens aux groupes discontinus formés de substitutions réelles.
Si le groupe G est discontinu, il est clair qu’on pourra diviser le plan, ou une partie du plan, en une infinité de régions jouissant des propriétés suivantes : Chacunes d’elles correspondra à la substitution
(z,fi(z)) s’appelera la région Ri , et, par conséquent, celle qui correspondra à la substitution (z,f0(z)) ou (z,z) s’appelera R0 . (Poincaré 1916, 117–118)
, a1,a2,an leurs conjugués.55La fonction fρ associe R0 et Rρ. En supposant R0 et Rp limitrophes, si z un point appartenant au côté commun λρ de R0 et Rp, fp-1(z) sera un point d’un des côtés λp de R0. Les côtés λp et λp sont dits conjugués (1916, 119). Si la substitution qui change ai en ai . Je dis que S1,S2,,Sn sont fondamentales ;66Un système est fondamental s’il est générateur et minimal (1916, 117–118). du moins en général et sauf une exception dont je parlerai plus loin. Je dis que Sn ne peut pas être une combinaison de S1,S2,,Sn-1. Sans cela une combinaison des n substitutions S1,S2,,SnSn n’entrerait qu’une seule fois se réduirait à la substitution unité. Ou / en d’autres termes, on pourrait construire un contour fermé C franchissant une seule fois un côté homologue à an. Je dis que cela est impossible.

Considérons les deux extrémités A0 et B0 de an. Il peut arriver trois cas :
1° ou bien le cycle77Deux points sont correspondants s’ils sont associés par une fonction du groupe fuchsien, c’est-à-dire s’ils appartiennent à la même orbite. A l’intérieur d’un domaine fondamental, il ne peut y avoir deux points correspondants. D’autre part, un point intérieur à un domaine fondamental ‘‘ne peut être non plus correspondant d’un point du périmètre de cette région’’ (1916, 119). Un cycle est un ensemble de sommets de R0 stable par la relation de correspondance (1916, 126). dont fait partie le sommet A0 a pour somme de ses angles 2/pi/qq>1 et le cycle dont fait partie le sommet B0 a pour somme de ses angles 2/pi/pp>1. (Il peut arriver d’ailleurs que les deux sommets A0 et B0 font partie d’un même cycle alors p=q mais rien n’est changé). Alors on peut faire passer par A0 un côté A0B1 homologue à an et coupant A0B0 sous l’angle 2π/q, puis un côté B1A1 homologue à an et coupant A0B1 sous l’angle 2π/p, puis un côté A1B2 homologue à an et coupant B1A1 sous l’angle 2π/q et ainsi de suite. De même, de l’autre côté, on construira B0A-1 homologue à an et coupant A0B0 sous l’angle 2π/p, et ainsi de suite.

On aura ainsi une ligne brisée formée de côtés homologues à an

A2B2A1B1A0B0A-1B-1A-2

Cette ligne brisée sera régulière au point de vue / de la géométrie non euclidienne, tous les sommets A0,A1,A2 etc. seront sur un même cercle, tous les sommets B0,B1,B2, etc. seront sur un autre cercle.

Enfin cette ligne brisée (qui sera généralement indéfinie) partagera le cercle fondamental en deux régions. Il est donc impossible qu’un contour fermé coupe an en un seul point, sans aller recouper la ligne brisée, c’est-à-dire sans recouper un côté homologue à an . Donc Sn ne peut pas s’exprimer par une combinaison de S1,S2,,Sn-1.88S’il existait une ‘‘combinaison des n substitutions S1,S2,,SnSn n’entre qu’une fois’’ réduite à l’unité, on pourrait construire, en suivant la trajectoire d’un point du disque transformé par cette combinaison de substitutions, construire une courbe fermée qui traverse an une seule fois sans recouper un côté homologue à an.

2e cas. Les deux sommets A0 et B0 font partie d’un même cycle et la somme des angles de ce cycle est 2π. J’appellerai le sommet B0=A1 pour plus de symétrie. Alors on peut construire un côté A1A2 homologue à an , puis d’autres A2A3 , A3A4 etc., homologues à an. Nous aurons ainsi une ligne brisée

A-2A-1A0A1A2A2A3

régulière au point de vue de la géométrie non euclidienne, tous les angles sont égaux entre eux et tous les sommets sont sur un même cercle. Cette ligne brisée partage encore / le cercle fondamental en deux régions. On est conduit à la même conclusion que dans le cas précédent.

3e cas Les deux sommets A0 et B0 ne font pas partie d’un même cycle et la somme des angles du cycle dont fait partie A0 est égale à 2π. Il y a alors exception et Sn n’est qu’une combinaison de S1,S2,,Sn-1. Il arrive alors toujours qu’on peut par le procédé du §999Le paragraphe 9 du mémoire de Poincaré, Théorie des groupes fuchsiens (1882, 1916, 108–168), s’intitule Simplification du polygone générateur. Poincaré souligne ‘‘qu’un même groupe fuchsien peut-être engendré par une infinité de polygones générateurs et qu’on peut profiter de cette indétermination pour simplifier ce polygone’’. Il montre alors un algorithme simple de simplification. ramener le polygone R0 à un autre qui a deux côtés de moins. Soit par exemple un polygone de 4p+2 côtés dont les côtés opposés sont conjugués, dont les sommets de rang impair forment un cycle dont la somme des angles est 2π et dont les sommets de rang pair forment un autre cycle. On peut ramener ce polygone à un autre de 4p côtés dont tous les sommets forment un seul cycle.

Il ne me reste que la place de vous serrer la main.

Poincaré

ALS 4p. IML 25, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "13.08.2014 00:43"

Références