1-1-183. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

[19/12/1901]11Date du cachet de la poste de Paris. Paris-19 décembre — Djursholm-22 décembre.

Mon cher ami,

Je m’occuperai de l’affaire Lorentz.22Il s’agit de la proposition de candidature de Lorentz au prix Nobel de physique; voir Mittag-Leffler à Poincaré, ca. 14.01.1902 (§ 1-1-181). J’espère dès ce soir pouvoir en parler à Cornu.33Alfred Cornu signera la proposition de Poincaré d’attribuer le prix Nobel à Lorentz; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 19 janvier 1902 (§ 1-1-186), et Poincaré au Comité Nobel, 31 janvier 1902 (§ 2-62-7).

Ma femme est tout à fait de votre avis pour la photographie, j’irai poser de nouveau dès que le temps sera favorable. Où en est d’ailleurs la publication de vos Monumenta Mathematica ?44Voir Mittag-Leffler à Poincaré, 15.10.1900 (§ 1-1-164).

J’ai déjà commencé à m’occuper du mémoire sur les fonctions abéliennes.

Mais quel est le dernier délai pour cet envoi.

Une autre question, vous paraissez connaître déjà le mémoire de Wirtinger ; de quoi traite-t-il au juste ? Je voudrai éviter de me rencontrer avec lui.55Voir les lettres §§ 1-1-176 et 1-1-181.

D’autre part, Klein m’a dit que Wirtinger avait fait la remarque suivante.

Soit une courbe C du 5e genre, on peut y construire une courbe C du 9e genre de telle façon qu’à un point de C correspondent 2 points de C. Cette courbe du 9e genre engendrera des fonctions abéliennes à 9 variables ;66Variante : ‘‘de telle façon’’. et par une transformation du 2d ordre, ces fonctions abéliennes se transformeront en fonction abéliennes toujours à 9 variables mais de telles façon que la fonction Θ à 9 variables ainsi obtenue se décompose en deux facteurs dont l’un est une fonction Θ à 5 variables et l’autre la fonction Θ la plus générale à 4 variables.

Cela n’est pas très difficile à démontrer et je voudrais en tirer quelques conséquences.77Soit C une courbe complexe (lisse et compacte) de genre 5. Tout revêtement double étale et non ramifié de C f:CC est une courbe C de genre 9. En effet, la formule de Riemann-Hurwitz s’écrit 2(g-1)=d[2(g-1)+ramification] g et g sont les genres des deux courbes complexes et d le degré du revêtement. Donc, dans le cas qui nous intéresse, g=5, d=2, d’où g=1+2(5-1)=9. On peut associer à chaque courbe complexe de genre g sa Jacobienne, c’est-à-dire le tore complexe g/ΔΔ est le réseau engendré par les périodes. L’application revêtement f induit entre les Jacobienne une application J(f) tel que le diagramme suivant CαJac(C)fJ(f)C𝛼Jac(C) soit commutatif. P:=KerJ(f) est une variété abélienne de dimension 4 puisque Jac(C) est de dimension 9 et Jac(C) de dimension 5. D’autre part comme le revêtement est double sans ramification, l’application f est définie par une involution sans point fixe i:CC qui induit une involution J(i):Jac(C)Jac(C) telle que Jac(C)=PJ P=Ker(J(f))={xJac(C)/J(i)x=-x} et J={xJac(C)/J(i)x=x}. Cette décomposition fournit la décomposition des fonctions abéliennes ‘‘engendrées’’ par C à l’aide de fonctions abéliennes en 5 et 4 variables (celles de J et celles de P).

Mais Wirtinger a-t-il publié cela et d’un autre côté n’en a-t-il pas tiré lui-même des conséquences qui précisément pourraient être les mêmes que celles que j’ai trouvées moi-même.88Voir Wirtinger (1895), comme Mittag-Leffler le précisa à Poincaré par lettre (§ 1-1-184). Pourriez vous me renseigner sur ce point ?

Votre ami bien dévoué,

Poincaré

ALS 3p. IML 109, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "30.12.2016 14:03"

Références