3-33-7. Anders Lindstedt to H. Poincaré

Dorpat den 21 März (2 April) 1884

Sehr geehrter Herr Professor!

Ich habe soeben ihren liebenswürdigen Brief erhalten, und beeile mich sofort darauf zu antworten. Sie fragen wie man beweisen kann, dass bei der Integration der Diff. gleichung

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\psi_{0}+\psi_{1}x+\psi_{2}x^{2}+\ldots

wenn man meine Methode befolgt, (also zuerst $x=\eta_{0}\cos w$ setzt, darauf

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=\psi_{0}+\psi_{1}\eta_{0}\cos w+\ldots

integriert u.s.w.) die Glieder in $\sin w$ ebenfalls verschwinden. Ich glaube dass diese ihre Frage davon herrührt, dass Sie sich die erste Annäherung unter der Form

\eta_{0}\cos w+\eta^{\prime}_{0}\sin w

( $\eta^{\prime}_{0}$ eine zweite Integr. constante) gedacht haben.¹¹ 1 Lindstedt semble croire que Poincaré n’a pas saisi la forme de la première approximation, où un terme de la forme $\eta_{0}\cos w+\eta^{\prime}_{0}\sin w$ s’exprime sous la forme $\eta^{\prime\prime}_{0}\cos w^{\prime}$ . Denn wenn nur mit $\eta_{0}\cos w$ die ganze Zeit operirt wird, so kommt kein Sinusglied in $w$ vor, weil die Potenzen von $\cos w$ wieder bloss Cosinusse von den Vielfachen von $w$ geben. Aber indem ich

w=n(1-\sigma)t+\pi,

wo $\pi$ die zweite Integrationskonstante bedeutet, gesetzt habe, sind die Sinusglieder vermieden worden.

Aber auch wenn man die Form

x=g\cos n(1-\sigma)t+h\sin n(1-\sigma)t

wo $g$ und $h$ die Integr.constanten sind, beibehalten wollte, so ist es leicht zu sehen, dass die Sinusglieder durch dieselbe Procedur zugleich mit den Cosinusgliedern verschwinden müssen. Vorausgesetzt ist natürlich, dass in den $\psi$ keine Glieder mit $n(1-\sigma)t$ als Argument vorkommen.

Man sieht es am Einfachsten ein, wenn man die Form

x=ke^{in(1-\sigma)t}+le^{-in(1-\sigma)t}

benutzt. Es werden dann die Coëfficienten für

e^{in(1-\sigma)t}\quad\text{und}\quad e^{-in(1-\sigma)t}

auf der rechten Seite immer dieselben sein.

Ich glaube nicht dass in dieser Hinsicht irgend eine Schwierigkeit vorliegt, da Sie aber so freundlich gewesen sind, sich für meine (in vieler Hinsicht sehr unreife) Arbeit zu interessieren, möchte ich Ihnen eine Frage machen im Betreff ihrer Note in Comptes Rendus für December 1884.²² 2 Lindstedt pensait sans doute à la note du 24 décembre (Poincaré 1883).

Sie weisen dort, und mit vollstem Recht, darauf hin, dass die Hauptschwierigkeit in der Auffindung eines Convergenzbeweises liege. In einer früheren Note von 1882 haben Sie ebenfalls dieselbe Frage behandelt, indem Sie zeigen, dass die Reihen, die man bis jetzt in der zweiten Annäherung (in Bezug auf die störenden Massen) für z.B. die grosse Halbaxe [benutzt hat], obwohl sie periodisch sind, doch für gewisse irrationale Verhältnisse der mittleren Bewegungen nicht convergent seien, dass also die Herstellung der rein periodischen Form noch nicht die Stabilität darthut.³³ 3 Dans sa note Sur les séries trigonométriques, Poincaré (1883) s’intéresse à la question de la convergence des séries de Lindstedt. Il rappelle d’abord un résultat montré dans sa première note (Poincaré 1882) “qu’une série purement trigonométrique et toujours convergente peut cependant croître au-delà de toute limite” (Poincaré 1883, 1471). Le fait de montrer l’absence de terme séculaire et de montrer la convergence des développements de Lindstedt ne suffit pas pour conclure à la stabilité du système. Poincaré se propose de montrer :
(1) Que si ces séries convergent pendant un intervalle de temps, si petit qu’il soit, elles convergeront toujours ;
(2) Qu’il n’est pas sûr qu’on puisse choisir les constantes de telle façon que les séries convergent ;
(3) Que les séries, même lorsqu’elles ne convergent pas, peuvent donner une solution du problème avec une approximation indéfinie. (Poincaré 1883, 1472)
Dans sa première note Sur les séries trigonométriques, Poincaré (1882) appliqua “aux séries que l’on peut envisager en Mécanique céleste” son résultat selon lequel certaines séries trigonométriques convergentes ne sont pas bornées : On sait que, si $t$ est le temps et $a$ le grand axe, par exemple, on a pour la dérivée de ce grand axe une expression de la forme $\frac{da}{dt}=\sum A_{p}\sin\alpha_{p}t+\sum B_{p}\cos\beta_{p}t,$ les deux séries $\sum\mbox{mod}A_{p}$ et $\sum\mbox{mod}B_{p}$ étant convergentes. En négligeant les carrés des masses, on en conclut, pour la variation $\delta a$ du grand axe, l’expression $\delta a=\sum\frac{A_{p}}{\alpha_{p}}(1-\cos\alpha_{p}t)+\sum\frac{B_{p}}{% \beta_{p}}\sin\beta_{p}t.$ (1) On serait tenté de conclure que $\delta a$ reste toujours compris entre certaines limites. Cela a lieu en fait pour certaines valeurs incommensurables du rapport des moyens mouvements. Mais il est d’autres valeurs également incommensurables de ce même rapport pour lesquels les séries du second membre de l’équation (1) […] peuvent croître indéfiniment. (Poincaré 1882, 768) Ich glaube aber, dass ihre Schlussweise, insofern sie sich auf die Frage von den Reihen der Störungstheorie und im Allgemeinen von Integralen der Diff. Gl[eichunge]n

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\psi_{0}+\psi_{1}x+\ldots

und ähnlichen bezieht, keine Anwendung finden kann. Denn schon in der Annahme eines bestimmten endlichen Verhältnisses zwischen $n$ und $n^{\prime}$ liegt die Annahme der Convergenz der Integrale unter periodischer Form mit eingeschlossen. Ihre Schlüsse können sich nähmlich nur auf solche Reihen

\sum A_{p}\cos\sigma_{p}t+B_{p}\sin\sigma_{p}t

beziehen, wo die $\sigma_{p}$ von den $A_{p}$ und $B_{p}$ unabhängig sind, was in der Störungstheorie nicht der Fall ist. Denn hier sind die $\sigma_{p}$ selbst Reihen, die Glieder von derselben Natur wie die $A_{p}$ und $B_{p}$ enthalten. Wenn ein Glied in diesen unendlich gross wird, so hat man in den $\sigma_{p}$ ebenfalls unendlich grosse Glieder von derselben Beschaffenheit. Ich meine also, dass die Annahme endlicher Werthe für die $\sigma_{p}$ hier zugleich die Voraussetzung der Convergenz der Integralreihen mit sich bringt.

Ich würde Ihnen von Herzen dankbar sein, wenn Sie mir hierüber einige aufklärende Worte geben wollten. Ich sehe gar keine Möglichkeit die Convergenz der Reihen des Dreikörperproblems nach bisher bekannten Methoden nachzuweisen. Wenn nur ein einziges noch so einfaches Beispiel vorläge, würde es ganz anders aussehen.

Indem ich Sie nochmals für ihren liebenswürdigen Brief danke, bleibe ich mit der ausgezeichnetesten Hochachtung

Ihr ergebener

And. Lindstedt.

ALSX 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "28.01.2016 22:42"

Literatur

H. Poincaré (1882) Sur les séries trigonométriques. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 95, pp. 766–768. External Links: Link Cited by: footnote 3.
H. Poincaré (1883) Sur les séries trigonométriques. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 97 (26), pp. 1471–1473. External Links: Link Cited by: item 3, footnote 2, footnote 3.