2-17-3. H. Poincaré to Victor Crémieu

[Ca. 08–09.1901]

Question de secteur chargé tournant en face d’une nappe fixe dont les 2 extrémités sont reliés à un galvanomètre.11L’absence de forme d’adresse, et les ratures du manuscrit témoignent d’une certaine rapidité de rédaction.

, longueur totale du circuit
x, longueur AMB.
i=φ(x,t), intensité au point B.
i0=φ(0,t), intensité au point A.
Q, charge de la section AMB.
ϱdx, résistance du segment dx.
V, potentiel; R résistance totale du circuit.

On a :

iϱdx=dV (loi de Ohm)

ou en étendant l’intégrale au circuit tout entier

iϱ𝑑x =0. (1)
On a
i-i0 =dQdt, (2)
d’où
0=iρ𝑑x =dQdtϱ𝑑x+i0ρ𝑑x (3)
d’où :
i0 =-1RdQdtρ𝑑x.

Or Q est une fonc. périodq. du temps. Donc la valeur moyenne de dQ/dt est nulle. Donc il en est de même de celle de dQdtϱ𝑑x donc de celle de i0, donc de celle de i C.Q.F.D.

J’arrive au cas symétrique que vous supposiez la dernière fois. Le galvanomètre est en G, la nappe en AB.

A et B sont diamétralement opposés à A et à B.

Au moment où le secteur fixe vient en A nous avons charge, au moment où il vient en B nous avons décharge. Les courants de charge compensent-ils ceux de décharge.

Le sens des courants de charge est indiqué par les flèches intérieures, le sens des courants de décharge par les flèches extérieures. Vous voyez qu’en G les deux courants sont de même sens.

Ces deux courants sont bien égaux mais pas de sens contraire.

Coëff. d’induc.

Je crois que pour le calcul de M, vous pouvez vous contenter des formules approchées suivantes :

Je représente ici en A et en B la section de l’un des circuits par le plan de symétrie en C et en D celle de l’autre circuit. J’appelle ϱ la distance CA. Le coëff. M sera : Klogϱ+C=M

C et K étant des constantes qui dépendent des arcs des deux cercles AB et CD qui entrent en jeu et des rayons du cercle AB.

1°Si les deux cercles sont complets, on a : pour le coëff. d’induction de deux cercles très rapprochés, rayon des deux cercles a, distance des deux circuits =ϱ; on a dis-je :

M=4ralog8aρ-8ra.

2°Si l’un des cercles est complet et l’autre a un angle φ, on a :

M=2φalog8aρ-4φa.

3°Pour deux cercles incomplets, les formules deviennent assez compliquées et je crois que vous pouvez vous contenter de la précédente. La différence ne serait pas grande. Si nous supposons alors une nappe ; et que nous nous contentions de cette expression simplifiée nous trouvons encore quelque chose d’assez compliqué. Soit x0 le rayon extérieur de la nappe, y celui de la spire induite, x1 le rayon intérieur :

x0>y>x1.

On trouve : non, je ne transcris pas cette formule qui est trop compliquée;22Variante : ‘‘On trouve : M3(x03-x13)=; non, je ne transcris pas cette formule qui est trop compliquée ; il suffira de se rappeler que la seule fraction. il m’en vient … ’’. La formule est barrée. il m’en vient une autre à l’esprit qui est plus simple, et dont je vous parlerai longuement une autre fois après y avoir un peu réfléchi. Mais elle me fait voir facilement une limite supérieure de M et je suis frappé de voir combien cette limite est petite; elle est de l’ordre de 10-8 Henry multiplié par le nombre des spires.

N’y aurait-il pas lieu de demander quelques détails à Pender ?33Poincaré écrira lui-même à Pender en 1902 (§ 2-45-1).

Tout à vous,

Poincaré

ALS 4p. Archives de l’Académie des sciences de Paris.

Time-stamp: "19.03.2015 01:57"