3-1-1. Oskar Backlund to H. Poincaré

Poulkovo le 5 Févr. 1901¹¹ 1 Lettre publiée avec modifications légères dans les Comptes rendus de l’Académie des sciences (Backlund 1901).

Très honoré Collègue,

Je Vous suis très reconnaissant pour avoir appelé l’attention à l’erreur fâcheuse dans ma note sur la précession.²² 2 O. Backlund 1900; Poincaré 1901. La note de Poincaré compare les résultats de Stockwell (1872) et ceux d’O. Backlund (1900) concernant “les variations séculaires de l’équateur terrestre qui sont la conséquence des variations séculaires de l’écliptique” (Poincaré 1901, 50). Backlund avait repris les calculs de Stockwell en utilisant les méthodes proposées par Gyldén (1891, 1893b) dans ses Nouvelles recherche sur les séries employées dans les théories des planètes. Comme les résultats de Stockwell et Backlund sont divergents, Poincaré en fait un test pour juger de la validité des travaux de Gyldén. Le point essentiel de la méthode de Gyldén en cause est la prise en compte dans les premières étapes du processus d’approximations successives de certains termes : Le principe de la méthode employée par M. Backlund consiste à ne pas supprimer tout de suite dans ses équations les termes à courtes périodes qui produisent la nutation ; dans les équations qu’on obtient après quelques transformations figurent certains coefficients périodiques qui dépendent de ces termes ; et pour l’intégration, au lieu de supprimer purement et simplement ces coefficients périodiques comme on le fait d’ordinaire, M. Backlund en conserve la partie constante [… ]. (Poincaré 1901) En effet il m’avait échappé que par des approximations successives le second terme du membre droit dans

\frac{d^{2}\nu_{1}}{dt^{2}}=a\sin(at+\varepsilon)+a(\nu_{1}+\nu_{2})\cos(at+% \varepsilon)-a\nu_{1}\nu_{2}\sin(at+\varepsilon)\ldots

donne naissance à un terme

+a\nu_{1}\nu_{2}\sin(at+\varepsilon),

ce qui réduit $\nu_{0}^{2}$ à zéro (au moins aux quantités d’ordre supérieur).

Cette erreur élémentaire appartient exclusivement à moi.

Dans Votre Note Vous considérez l’équation

\frac{d^{2}\varepsilon}{dt^{2}}=a\varepsilon\cos(nt+\nu_{0})+b\sin pt.

Gyldén considère au début des approximations l’équation³³ 3 Gyldén 1891; 1893a. Poincaré reprend en le simplifiant l’exemple de Backlund (1900, 397) et se propose de traiter en suivant les méthodes de Stockwell et de Backlund l’équation différentielle $\frac{d^{2}\nu}{dt^{2}}=a\sin(nt+\nu)+b\sin pt,$ “de telle façon que $\frac{b}{p^{2}}$ soit notoirement plus grand que $\frac{a}{n^{2}}$ et que $p^{2}$ soit du même ordre de grandeur que $\frac{a^{2}}{n^{2}}$ .” En posant $\nu=\nu_{0}+\varepsilon$ où $\nu_{0}$ vérifie $\frac{d^{2}\nu_{0}}{dt^{2}}=a\sin(nt+\nu_{0}),$ (1) $\varepsilon$ vérifie au premier ordre l’équation différentielle $\frac{d^{2}\varepsilon}{dt^{2}}=a\varepsilon\cos(nt+\nu_{0})+b\sin pt.$ (2) En négligeant comme Stockwell les termes à courte période, on trouve $\frac{d^{2}\varepsilon}{dt^{2}}=b\sin pt\qquad\varepsilon=-\frac{b}{p^{2}}\sin pt.$ Backlund introduit une approximation de $\nu_{0}=-\frac{a}{n^{2}}\sin nt$ et tient compte des termes à courte période ; il obtient comme équation $\frac{d^{2}\varepsilon}{dt^{2}}=\varepsilon(a\cos nt+\frac{a^{2}}{n^{2}}\sin^{% 2}nt)+b\sin pt.$ En première approximation, on obtient alors : $\varepsilon=-\frac{b\sin pt}{\frac{a^{2}}{2n^{2}}+p^{2}}.$ Poincaré poursuit son raisonnement en résolvant directement les équations (1) et (2) en utilisant des techniques de fonctions elliptiques et obtient pour $\varepsilon$ une approximation au premier ordre de la forme $\varepsilon=\frac{-e^{ipt}}{\alpha^{2}+p^{2}}$ . Comparons maintenant cette formule avec celles de Stockwell et de Backlund. Nous voyons que, pour obtenir celle de Stockwell, il faut faire $\alpha=0$ , et pour obtenir celle de Backlund, $\alpha=\frac{a}{n\sqrt{2}}$ . (Poincaré 1901, 54) Un argument analytique montre que nécessairement $\alpha$ est nul et donc que “c’est Stockwell qui a raison”. Poincaré conclut en faisant la responsabilité de l’erreur sur la méthode proposée par Gyldén : La critique qui précède ne saurait, en aucune façon, s’adresser à notre savant correspondant, puisqu’il n’a fait qu’appliquer une méthode classique que tout le monde croyait correcte.
Mais c’est là une raison de plus pour que j’aie cru devoir mettre en évidence le vice fondamental de la méthode de Gyldén, dont on pourrait être tenté de faire d’autres applications. (Poincaré 1901, 54–55) Backlund répond en expliquant qu’il n’a pas bien utilisé la méthode de Gyldén en négligeant les termes d’ordre supérieur. Dans sa défense plus générale de la méthode horistique de Gyldén, Backlund (1904) reprend le même argument pour montrer que l’objection de Poincaré n’est pas valable : Il faut regretter que M. Poincaré, dans sa critique de la méthode de Gyldén, ne tienne compte que des termes du premier ordre. Gyldén lui-même a démontré que dans ce cas il n’existe pas de coefficient horistique et que c’est seulement en considérant au début des approximations les termes du troisième ordre qu’on peut établir une équation horistique pour la détermination de la longitude. La critique de M. Poincaré […] ne se rapporte pas alors à la théorie de Gyldén, mais seulement au coefficent erroné, déterminé par moi. (Backlund 1904, 292) Dans ses observations à propos de l’article de Backlund sur la méthode horistique, Poincaré (1904) répond en maintenant ses objections et en annonçant son article (Poincaré 1905) : En ce qui concerne l’application de la méthode horistique à la longitude, j’ai reconnu qu’il n’y avait pas de coefficient horistique, même quand on tient compte des termes du troisième ordre. C’est ce que j’exposerai dans un Mémoire plus étendu. L’erreur, dont M. Backlund veut généreusement s’attribuer toute la responsabilité, ne lui appartient donc pas. Il s’est conformé aux principes généraux de la méthode et s’est servi du mode de raisonnement préconisé par Gyldén, et dont ce savant avait fait d’autres applications. Ce mode de raisonnemment consiste à remplacer certains coefficients périodiques par leur valeur moyenne : c’est ce qu’a fait M. Backlund, c’est ce qu’avait fait Gyldén ; si l’astronome russe s’est trompé, ce n’est pas qu’il en a mal appliqué les règles, c’est que ces règles ne valaient rien. (Poincaré 1904, 294–295)

\frac{d^{2}\varepsilon}{dt^{2}}=a\varepsilon\cos(nt+\nu_{0})-\frac{1}{2}a% \varepsilon^{2}\sin(nt+\nu_{0})-\frac{1}{6}a\varepsilon^{3}\cos(nt+\nu_{0})+b% \sin pt,

et parvient à déterminer $\nu_{0}^{2}$ dans

-\frac{b}{\nu_{0}^{2}+p^{2}}\sin pt.

La valeur de $\nu_{0}^{2}$ ⁴⁴ 4 Dans la note aux Comptes rendus, il y a une faute de frappe: $\rho_{0}^{2}$ . ainsi déterminée est évidemment beaucoup plus petite que $\frac{a^{2}}{2n^{2}}$ .

Gyldén dit expressément qu’il est même inutile, pour la détermination de $\nu_{0}^{2}$ ,⁵⁵ 5 La phrase “pour la détermination de $\nu_{0}^{2}$ ” paraît en marge. Dans la publication on trouve la même faute de frappe que précédemment. de partir de l’équation où l’on a négligé la deuxième et la troisième puissance de $\varepsilon$ . C’est justement ce que Vous avez démontré.⁶⁶ 6 Une des ambitions de Gyldén dans ses Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes est de montrer que la résolution des équations différentielles du second ordre nécessite de prendre en compte les termes d’ordre supérieur ou égal à deux. Après avoir expliqué que l’on linéarise l’équation en ne tenant pas compte des termes perturbatifs d’ordre supérieur ou égal à deux, il poursuit : Cette équation n’étant pas linéaire au début, le devient toutes les fois qu’on néglige les termes dépendant de la troisième puissance de la force perturbatrice, ainsi que les termes d’un ordre plus élevé. Mais il paraît indispensable d’éviter cette forme dès le commencement du calcul, car bien que l’on n’ait pas démontré directement l’impossibilité de parvenir à la solution absolue en négligeant les termes du troisième ordre dans la première approximation, des tentatives stériles et réitérées, même dans les derniers temps, ont rendu cependant extrêmement probable que la solution absolue ne s’obtiendra pas en utilisant exclusivement des équations linéaires. (Gyldén 1891, 65–66)

Je serais très redevable si Vous vouliez insérer ces lignes dans les Comptes Rendus. Je le dois à la mémoire de Gyldén.⁷⁷ 7 Gyldén est mort le 9 novembre 1896 à Stockholm.

Votre très reconnaissant

O. Backlund

ALS 3p. Pochette de séance, 11.02.1901, Archives de l’Académie des sciences de Paris. Publiée dans O. Backlund (1901).

Time-stamp: "30.12.2016 20:39"

Références

O. Backlund (1900) Zur Theorie der Präcession und Nutation. Bulletin de l’Académie impériale de St- Pétersbourg 12, pp. 387–409. Cited by: footnote 2, footnote 3.
O. Backlund (1901) Sur la précession; extrait d’une lettre de M. O. Backlund à M. Poincaré. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 132, pp. 291–292. External Links: Link Cited by: 3-1-1. Oskar Backlund to H. Poincaré, footnote 1.
O. Backlund (1904) Sur la méthode horistique de Gyldén. Bulletin astronomique 21, pp. 289–292. Cited by: footnote 3.
H. Gyldén (1891) Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes. Acta mathematica 15, pp. 65–189. External Links: Link Cited by: footnote 2, footnote 3, footnote 6.
H. Gyldén (1893a) Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes (suite et fin). Acta mathematica 17, pp. 1–168. External Links: Link Cited by: footnote 3.
H. Gyldén (1893b) Traité analytique des orbites absolues des huit planètes principales, Volume 1: Théorie générale des orbites absolues. F. & G. Beijer, Stockholm. External Links: Link Cited by: footnote 2.
H. Poincaré (1901) Sur la théorie de la précession. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 132, pp. 50–55. External Links: Link Cited by: footnote 2, footnote 3.
H. Poincaré (1904) Sur la méthode horistique; observations sur l’article de M. Backlund. Bulletin astronomique 21, pp. 292–295. External Links: Link Cited by: footnote 3.
H. Poincaré (1905) Sur la méthode horistique de Gyldén. Acta mathematica 29 (1), pp. 235–271. External Links: Link Cited by: footnote 3.
J. N. Stockwell (1872) Memoir on the secular variations of the elements of the orbits of the eight principal planets. Smithsonian Contributions to Knowledge 18 (3), pp. 1–199. External Links: Link Cited by: footnote 2.