3-43-1. Thorvald Nicolai Thiele to H. Poincaré

Paris 1887 Mars 7

Monsieur,

Le point essentiel qui vous empêchera de suivre M. Sylvester sera que

$$y=\frac{a+bx}{c+dx}=\frac{ba+nbx}{nc+ndx}.$$

L’idée de $y$ étant déterminée en comparation de $x$ d’une manière unique ainsi que celle de $x$ par celle de $y$, il reste encore que la détermination elle même soit uniquement donnée par les idées de $x$ et $y$. Il semble que M. Sylvester exige que toutes les quatre constantes $a,b,c,d$ doivent être données, sans cela, son addition

$$\frac{a+a^{\prime }+(b+b^{\prime })x}{c+c^{\prime }+(d+d^{\prime })x}$$

sera nécessairement indéfinie. Mais si l’on concède que toutes les quatre constantes soient essentielles pour la détermination, alors la multiplication et la division seraient ou indéterminées ou tout formelles.

L’indétermination peut être facilement vaincue p. ex. si l’on exige que $f(a,b,c,d)=1$, mais alors la multiplication ne posséderait [pas] en général la principe distributive.

Si l’on voudrait forcer cet obstacle en exigeant que $ad-bc=1$ devrait être une condition absolue, de telle manière que dans l’addition on devrait opérer selon la formule

$$\begin{array}{c}\hfill \frac{\frac{a+a^{\prime }}{n}+\frac{b+b^{\prime }}{n}x}{\frac{c+c^{\prime }}{n}+\frac{d+d^{\prime }}{n}x}\hfill \\ \hfill \text{où}\hspace{1em}\hspace{1em}{n}^2=(a+a^{\prime })(d+d^{\prime })-(b+b^{\prime })(c+c^{\prime })\hfill \end{array}$$

on rencontrerait enfin dans la duplicité de cette détermination de $n$ l’obstacle insurmontable, c’est-à-dire irréconciliable à la charactère unique des déterminations.

Veuillez Monsieur pardonner mon mauvais français et agréer l’assurance de ma parfaite estime.

Thiele

ALS 3p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "18.01.2016 01:19"