2-54-1. H. Poincaré to Arnold Sommerfeld

[Ca. 03.1912]

Mon cher Collègue,

J’ai examiné le mémoire de M. March que vous avez eu la bonté de m’envoyer. J’ai découvert l’origine de l’erreur de M. March.

A la page 39 de sa dissertation il envisage une certaine intégrale (94) que j’écrirai pour abréger.

$${\mathrm{\Pi }}_1=\int F(\alpha )𝑑\alpha .$$

l’intégrale est prise le long du contour $OMN\mathrm{\infty }$.

Comme $\varrho$ est très grand, il remplace $F(\alpha )$ par sa valeur approchée.

Soit $\mathrm{\Phi }(\alpha )$ cette valeur approchée, cela veut dire que l’on a :

$$F(\alpha )=\mathrm{\Phi }(\alpha )(1+\epsilon )$$

$\epsilon$ étant très petit de l’ordre de

$$\frac{1}{\varrho }.$$

M. March obtient ainsi l’intégrale de la page 42, l’intégrale (100) que j’écris pour abréger

$$\int \mathrm{\Phi }(\alpha )𝑑\alpha .$$

et qu’il regarde comme une bonne approximation de (94).

Pour que cette vue fût exacte, il faudrait que l’erreur commise :

$$\mathrm{\Delta }=\int \epsilon \mathrm{\Phi }(\alpha )𝑑\alpha$$

fût négligeable devant l’intégrale (100) elle-même. Or il n’en est pas ainsi. Cette intégrale (100) calculée page 43 à la formule (101) est de l’ordre de $1/\varrho$.

Quel est l’ordre de la quantité sous le signe $\int$

$$\epsilon \mathrm{\Phi }(\alpha )\mathit{\hspace{1em}}\text{ ?}$$

$\mathrm{\Phi }(\alpha )$ contient en facteur $\cos \left(\alpha \theta -\pi /4\right)$ lequel est de l’ordre de $e^{\beta \theta }$, $\beta$ étant la partie imaginaire de $\alpha$, laquelle peut atteindre $\varrho$. Donc $\epsilon \mathrm{\Phi }(\alpha )$ est très petit par rapport à $\mathrm{\Phi }(\alpha )$, mais très grand par rapport à $1/\varrho$, c’est à dire par rapport à (100). L’intégrale des valeurs absolues

$$\int \left|\epsilon \mathrm{\Phi }(\alpha )d\alpha \right|$$

serait de l’ordre de $e^{\varrho \theta }/{\varrho }^3$ et c’est par suite de compensations que $\mathrm{\Delta }$ est seulement de l’ordre de $1/\varrho$, à peu près égale et de signe contraire à (100) de façon que la valeur exacte (94) soit très petite par rapport à la soi-disant valeur approchée (100).

Je profite de l’occasion pour me rappeler à votre bon souvenir.

Votre bien dévoué Collègue,

Poincaré

ALS 3p. HS 1977–28A/266, Archiv, Deutsches Museum.

Time-stamp: "30.01.2018 14:01"