2-48-19. Alfred Potier to H. Poincaré

23 Janvier 1905

Mon cher Confrère,

Il est impossible que vos travaux sur les fonctions fuchsiennes n’en aient pas suscité beaucoup d’autres étendant vos résultats, ou montrant quelques applications; il est probable que cette littérature a dû pousser quelqu’un à réunir les faits acquis et à condenser sous forme de livre des mémoires dispersés un peu partout. Si ce livre existe, vous me feriez grand plaisir en me l’indiquant, sinon, j’attendrai la publication du volume annoncé de l’Encyclopédie des Sciences mathématiques.

Il y a déjà longtemps que je voulais vous le demander, mais votre communication de Lundi dernier me fournit une occasion. Vous indiquez comme mesure d’un angle solide, la somme des aires des régions positives et négatives découpées sur l’hypersphère de rayon un, pourquoi cette définition qui donne $2\pi$ du dièdre droit ou $\pi$ pour le trièdre trirectangle ? Ne serait-il pas plus conforme à l’usage de ne prendre que les régions positives; alors l’angle solide formé par les axes coordonnés dans l’espace à $n$ dimensions seraient toujours égal à $\frac{\pi }{2}$ quelque soit $n$ ; et l’angle dièdre formé par deux plans

$$\sum a_i{x}_i=0\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\sum b_i{x}_i=0$$

aura pour cosinus

$$\sum a_i{b}_i\cdot \frac{1}{\sqrt{\sum a_i^2\cdot \sum b_i^2}}$$

comme celui des deux droites

$$\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}\mathrm{\dots }=\frac{x_n}{a_n}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\frac{x_1}{b_1}=\frac{x_2}{b_2}\mathrm{\dots }=\frac{x_n}{b_n}$$

perpendiculaires à ces deux plans et dont la définition se ramène à une intégrale simple prise entre deux points d’un arc de grand cercle sur l’hyper-sphère c’est à dire l’ensemble des points de l’hypersphère qui se trouvent sur $n-2$ plans distincts passant par les deux droites.

J’ai eu occasion d’observer les différences profondes que présentent les théories suivant que $n$ est pair ou impair : ainsi si on cherche une substitution $S$ telle qu’en la répétant on retombe sur la substitution identique ($S_1=1$) on trouve deux substitutions, l’identique d’abord puis l’identique changée de signe; maintenant si on veut trouver une substitution qui répétée deux fois reproduise la 1^re changée de signe ou symboliquement si l’on veut résoudre $S^4=1$ ou $S^2=-1$ on trouve qu’il n’y a pas de solution proprement dite quand $n$ est impair tandis qu’il y en a une infinité pour $n=2$, 4, 8, en ce sens que l’on peut se donner arbitrairement les coefficients de la substitution pour l’une des nouvelles variables sauf un qui est nul.

Bien entendu il ne s’agit que de substitutions orthogonales conservant les longueurs et par substitutions proprement dites j’entends celles qui intéressent tous les axes coordonnés et ne sont pas les produits de substitution intéressant seulement un certain nombre de ces axes.

Vous me ferez plaisir en répondant à la question par laquelle débute cette lettre.

Votre bien dévoué,

A. Potier

ALS 5p. Collection particulière, Paris 75017.

Last edit: 19.03.2015