Paul Painlevé to H. Poincaré

Jeudi 24 mai [24.05.1900]

Monsieur et cher Maître,

Permettez-moi de préciser les explications que je vous ai données hier sous une forme obscure, encore que trop longuement.

Nous considérons l’équation :

$$y^{\prime \prime }=6y^2+x;$$

soit $y=f(x)$ une intégrale, définie pour les conditions initiales régulières $x_0$, $y_0$, $y_0^{\prime }$ ; soit $L$ une demi-droite du plan des $x$, issue de $x_0$, et soit $a$ le premier point singulier transcendant de $f(x)$ qu’on rencontre sur $L$. Il faut montrer qu’un tel point ne saurait exister.

Je remarque immédiatement que la transformation

$$(1)x=a+\mu X,y=\frac{Y}{{\mu }^2}$$

change l’équation (e) en

$$\frac{d^{2}Y}{d{X}^2}=6Y^2+{\mu }^4(a+\mu X).$$

Ceci posé, j’établis 2 lemmes.

Lemme 1. Soit $D$ un domaine fermé donné dans le plan des $x$ (d’ailleurs quelconque), et $X_0$, $Y_0$, $Y_0^{\prime }$ les valeurs données : pour les valeurs de $\mu$ suffisamment petites , l’intégrale $Y(X)$, définie pour $X_0$, $Y_0$, $Y_0^{\prime }$ est méromorphe dans $D$.${}^{*}$

Le lemme subsiste si on suppose que $X_0$, $Y_0$, $Y_0^{\prime }$, au lieu d’être donnés, sont assujettis à la seule condition d’être moindres en module qu’une quantité donnée $A$. Il est en défaut dès que le coefficient de ${\mu }^4$ dans (E) n’est pas une fonction linéaire de $X$.

Lemme 2. Soit $M(x)$ le plus grand module des deux quantités $u(x)={(x-a)}^{2}f(x)$, $v(x)={(x-a)}^3{f}^{\prime }(x)$. Quand $x$ tend vers $\overline{a}$ sur $L$, il est impossible que $M(x)$ tende constamment vers l’infini.

Du second lemme il résulte qu’on peut trouver des valeurs de $x$, aussi voisine de qu’on veut, et pour lesquelles $u(x_1)$ ou $(x_1-a^2)f(x_1)$, et $v(x_1)$ ou ${(x_1-a)}^3{f}^{\prime }(x_1)$ ont des valeurs inférieures en module à une certaine quantité fixe $A$. Soit $x_1$ un de ces points : posons $\mu =x_1-a$, et faisons le changement de variables :

$$(1)x=a+\mu X,y=\frac{Y}{{\mu }^2},y_2^{\prime }=\frac{Y_x^{\prime }}{{\mu }^3}.$$

Aux valeurs $x_1$, $y_1=f(x_1)$, $y_1^{\prime }=f^{\prime }(x_1)$, correspondent les valeurs $X_1=2$, $Y_1=u_2$, $Y_1^{\prime }=v_1$, où $|u_1|$ et $|v_1|$ sont . L’intégrale $Y(X)$ de (E), définie par $X_1$, $Y_1$, $Y_1^{\prime }$, doit admettre $X=0$ comme point transcendant : d’où contradiction avec le premier lemme, puisque ou peut être pris aussi petit qu’on veut. C.Q.F.D.

Excusez-moi de vous avoir fait perdre tant de temps hier matin, et croyez moi, je vous prie, Monsieur et cher Maître, votre respectueusement dévoué et reconnaissant.

Paul Painlevé

${}^{*}$ La quantité $a$ est donnée.

ALS 4p. Collection particulière, 75017 Paris.

Last edit: 8.05.2016