1-1-8. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

Caen, le 1er Août 1881¹¹ 1 Caen-1er août — Helsingfors-6 août.

Faculté des sciences de Caen – Instruction Publique

Mon cher ami,

Permettez-moi de vous envoyer encore un exemple relatif à notre équation

\sum{u_{i}F_{i}\frac{dz}{du_{i}}}=z

(1)

exemple qui mettra bien en lumière la nature et les propriétés de l’intégrale.

Je suppose, vous vous le rappelez, que, quand on annule tous les $u$ ,

F_{1},\;F_{2},\quad\ldots\quad F_{n}\;

se réduisent à 1,

x-\alpha_{2},\quad\ldots\quad x-\alpha_{n}.

Je pose :²² 2 Quand $F_{1}$ est identiquement égale à 1, la seule intégrale holomorphe est $Cu_{1}$ . Lorsque $F_{1}$ “se réduit à 1 quand on annule les $u$ ”, les solutions sont obtenues en faisant varier la constante; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 26.07.1881 (§ 1-1-7).

z=tu_{1}

d’où :

\frac{{dz}}{{du_{i}}}=u_{1}\frac{{dt}}{{du_{i}}}\quad\quad\frac{{dz}}{{du_{1}}% }=t+u_{1}\frac{{dt}}{{du_{1}}}

L’équation (1) va devenir, en supposant n = 3 pour fixer les idées :

u_{1}F_{1}\frac{{dt}}{{du_{1}}}+u_{2}F_{2}\frac{{dt}}{{du_{2}}}+u_{3}F_{3}% \frac{{dt}}{{du_{3}}}=t\left({1-F_{1}}\right)

Je pose maintenant : $t=e^{v}$ d’où

\frac{{dt}}{{du_{i}}}=e^{v}\frac{{dv}}{{du_{i}}}

l’équation (1) devient alors :

u_{1}F_{1}\frac{{dv}}{{du_{1}}}+u_{2}F_{2}\frac{{dv}}{{du_{2}}}+u_{3}F_{3}% \frac{{dv}}{{du_{3}}}=\left({1-F_{1}}\right)

ou en posant :

\frac{{F_{2}}}{{F_{1}}}=\varphi_{2}\quad\frac{{F_{3}}}{{F_{1}}}=\varphi_{3}% \quad\frac{{1-F_{1}}}{{F_{1}}}=\varphi

u_{1}\frac{{dv}}{{du_{1}}}+u_{2}\varphi_{2}\frac{{dv}}{{du_{2}}}+u_{3}\varphi_% {3}\frac{{dv}}{{du_{3}}}=\varphi

Quand on annule tous les u, les fonctions

\varphi_{2},\;\varphi_{3}\;\text{et}\;\varphi

se réduisent respectivement à :

x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3},\;0

Eh bien, je vais supposer que

\varphi_{2}\;\text{et}\;\varphi_{3}

se réduisent identiquement à

x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3};

j’aurai ainsi un exemple simple où l’intégrale s’écrira presqu’immédiatement.

Soit en effet :

\varphi=\sum{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}

et écrivons que la fonction inconnue v s’écrit :

v=\sum{C_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}

On a, en identifiant :

C_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}\left({m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}% \left({x-\alpha_{3}}\right)}\right)=A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}

(2)

ce qui donne les valeurs des C. Il n’y aurait en effet de difficulté que si l’on avait :

m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)=0

Or dans le cas où l’origine est extérieure au triangle formé par les points 1, $x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}$ ; cela ne peut arriver que si³³ 3 La condition $m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)=0$ exprime que 0 est le barycentre des points 1, $x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3},$ affectés des poids $m_{1},\,m_{2},\,m_{3}$ . Comme les coefficients sont positifs, cette condition revient à affirmer que 0 appartient au triangle de sommets 1, $x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}.$

m_{1}=m_{2}=m_{3}=0.

Mais alors, comme $A_{0,\;0,\;0}$ est nul, l’équation (2) se réduit à une identité.

Quant à la convergence de la série, elle se démontre aisément dans le cas où l’origine est extérieure au triangle $1,x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}$ .⁴⁴ 4 Il est clair que si la série $\varphi=\sum{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}}$ converge, a fortiori la série de terme général $\frac{{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}}}{{m_{% 1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)}}$ est aussi convergente tant que $m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)\neq 0.$

On a donc une fonction v holomorphe définie par la série convergente :

v=\sum{\frac{{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}% }}{{m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)}}}

ce qui définit en même temps une intégrale z holomorphe de l’équation (1).

Ces fonctions $v$ et $z$ présenteront un espace lacunaire déterminé par la condition que l’origine soit intérieure au triangle $1,\;x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}$ . Cet espace lacunaire est limité par trois droites, dont l’une est la droite $\alpha_{2}\alpha_{3}$ et les autres sont les parallèles à l’axe des quantités réelles menées par

\alpha_{2}\;\text{et}\;\alpha_{3}

dans la direction des quantités réelles négatives.⁵⁵ 5 Comme 0 appartient au triangle 1, $x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3},$ il existe $\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3}$ positifs vérifiant $\lambda_{1}+\lambda_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+\lambda_{3}\left({x-\alpha_% {3}}\right)=0.$ L’affirmation de Poincaré est donc justifiée puisqu’on peut donc écrire $x=\mu+a\alpha_{1}+b\alpha_{2}$ où $\mu\geq 0\;\text{et}\;a+b=1.$

Si au lieu de supposer que $F_{2}$ et $F_{3}$ se réduisent à $x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}$ quand on annule tous les $u$ , j’avais supposé que ces fonctions se réduisent à

\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}},\quad\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}

j’aurais eu pour espace lacunaire le triangle $\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}$ .⁶⁶ 6 En reprenant les mêmes notations que dans l’exemple précédent et en supposant que $F_{2}$ et $F_{3}$ se réduisent à $\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}},\,\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}},$ on obtient $C_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}\left({m_{1}+m_{2}\left({\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-% \alpha_{1}}}}\right)+m_{3}\left({\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right)% }\right)=A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}.$ De la même manière, il n’y a des difficultés que si $m_{1}+m_{2}\left({\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right)+m_{3}\left({% \frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right),$ autrement si 0 appartient au triangle de sommets $x-\alpha_{1},\;x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3},$ ou si $x$ appartient au triangle de sommets $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3}.$ Vous voyez comment dans le cas simple où l’on a identiquement :

F_{2}=F_{1}\times\left({x-\alpha_{2}}\right)\quad\quad F_{3}=F_{1}\times\left(% {x-\alpha_{3}}\right)

ou bien

F_{2}=F_{1}\times\frac{x-\alpha_{2}}{x-\alpha_{1}}\quad\quad F_{3}=F_{1}\times% \frac{x-\alpha_{3}}{x-\alpha_{1}}

la question peut se traiter. Si vous le désirez d’ailleurs, je pourrai vous envoyer un exemple plus compliqué.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de mes sentiments les plus dévoués.

Poincaré

ALS. IML 5, Mittag-Leffler Archives, Djursholm. Un extrait paraît dans les Acta mathematica 38, 153–155.

Time-stamp: "19.03.2015 01:53"