1-1-76. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

Paris, le 15 Janvier 1889¹¹ 1 Paris-15 janvier—Stockholm-18 janvier.

Mon cher ami,

Au moment où votre lettre²² 2 Cette lettre semble perdue. On peut penser que Mittag-Leffler se faisait l’écho des objections de Weierstrass concernant la stabilité (voir § 75, notes), et les travaux de Bohlin. En effet, dans sa lettre adressée à Mittag-Leffler le 8 janvier 1889, après avoir exprimé son désaccord avec le dithyrambe de Hermite et ses réticences sur la définition de la stabilité, Weierstrass évoque une éventuelle priorité de Bohlin sur la question de la stabilité : Ich muss übrigens bemerken, dass hinreichende Bedingungen für das Stattfinden der Stabilität im Sinne der Preisschrift in der im 10^ten Bande der Acta veröffentlichten Abhandlung des Herrn Bohlin (S. 147 ff) entwickelt worden sind. Ich habe nicht die Zeit gehabt, zu ermitteln, ob die in der Preisschrift angegebenen Bedindungen weiter gehen—wie ich allerdings glaube. Dagegen gelten die Bohlin’schen Kriterien in so weit allgemeiner, als weder die Masse des störenden Körpers in Verhältniss zu der des Hauptkörpers ausserordentlich klein, noch auch die drei Punkte sich in einer und derselben Ebene zu bewegen brauchen. (IML) m’est parvenue, la rédaction des notes que je vous avais annoncées sur les invariants intégraux ; sur les équations à coefficients périodiques ; sur le calcul des limites ; sur les surfaces asymptotiques ; sur la non-existence des intégrales uniformes ; est entièrement terminée ;³³ 3 Il s’agit respectivement des notes C, D, E, F et G (voir § 75). (je vous les adresserai probablement demain quand elles seront recopiées.)

Je n’ai donc pu profiter de vos observations pour la rédaction de ces notes ; c’est d’ailleurs dans la note B,⁴⁴ 4 La note B qui reprend “l’énoncé des principaux résultats obtenus dans le mémoire, en les exprimant dans le langage habituel de l’astronomie” (Première impression du mémoire conservé à l’IML, p. 174), comporte une addition (p. 180-183). qui vous est déjà parvenue depuis quelque temps, qu’elles m’auraient été particulièrement utiles. Mais je crois qu’il sera facile de faire une petite addition à cette note pour vous donner complète satisfaction.

Revenons sur la définition de la stabilité.

J’ai dans le chapitre 1^er, mis les équations différentielles sous la forme :

\begin{array}[]{cc}\frac{dx_{i}}{dt}=F\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)&% \left(i=1,2,\cdots,n\right)\end{array}

et j’ai dit que la condition de stabilité, c’est que $x_{1}$ , $x_{2}$ , … , $x_{n}$ sont toujours inférieurs à une limite finie. Dans les problèmes de Mécanique, les variables $x_{1}$ , $x_{2}$ , … , $x_{n}$ sont non seulement les coordonnées des divers points, mais les composantes de leurs vitesses. De sorte que d’après ma définition il faut pour qu’il y ait stabilité, que non seulement les coordonnées, mais les vitesses restent finies. Dans le problème des $n$ corps, si deux des $n$ corps viennent à une distance infiniment petite l’un de l’autre, la vitesse devient infinie ; de sorte qu’il faut pour la stabilité, non seulement que la distance de deux des corps ne devienne pas très grande, mais qu’elle ne devienne pas non plus très petite.

Dans le mode de représentation géométrique que j’ai adopté, un point de l’espace représente non seulement les coordonnées du point mobile dans le plan, mais encore les composantes de sa vitesse ; ces quatre quantités (deux coordonnées, deux vitesses) étant liées par une relation (intégrale de Jacobi) de telle façon qu’il n’y en a que trois d’indépendantes.⁵⁵ 5 Voir § 74, notes.

Si donc le point représentatif reste à l’intérieur d’une surface fermée, et si à l’intérieur de cette surface il n’y a pas de point qui corresponde à une coordonnée ou à une vitesse infinie, la stabilité sera démontrée.

Mais voyons la chose d’un peu plus près.

Soit a le grand axe de l’orbite osculatrice de la planète troublée et e son excentricité. Je démontre ce qui suit :

Supposons que la valeur initiale de e soit plus petite qu’une certaine fonction périodique des longitudes des deux planètes et du périhélie ; soit $\varphi_{1}$ cette fonction ; on aura donc à l’origine des temps $e<\varphi_{1}.$

D’ailleurs l’égalité $e=\varphi_{1}$ serait celle qui correspondrait à une surface asymptotique. Si, dis-je, cette inégalité $e<\varphi_{1}$ a lieu à l’origine des temps, elle aura lieu toujours. Observons enfin que pour $\mu=0$ , $\varphi_{1}$ se réduit à une constante $\varphi_{1}^{0}$ et que la différence $\varphi_{1}-\varphi_{1}^{0}$ est une quantité très petite de l’ordre de $\sqrt{\mu}$ . Comme les surfaces asymptotiques sont en nombre infini, on pourra toujours trouver deux fonctions $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ telles que l’on ait à l’origine des temps et par conséquent toujours $\varphi_{1}>e>\varphi_{2}$ et on pourra choisir ces fonctions de telle façon que $\varphi_{1}^{0}-\varphi_{2}^{0}$ soit aussi petit que l’on veut.

On aura ainsi pour $e$ une limite inférieure et une limite supérieure et la différence de ces deux limites sera du même ordre de grandeur que

\left|\varphi_{1}-\varphi_{1}^{0}\right|+\left|\varphi_{1}^{0}-\varphi_{2}^{0}% \right|+\left|\varphi_{2}-\varphi_{2}^{0}\right|

c’est à dire que $\sqrt{\mu}$ puisque $\varphi_{1}^{0}-\varphi_{2}^{0}$ peut être pris aussi petit que l’on veut.

On peut raisonner de même sur a et montrer que ce grand axe reste constamment compris entre deux limites dont la différence est du même ordre de grandeur que $\sqrt{\mu}$ .⁶⁶ 6 Poincaré développe ce point dans une addition à la note B (Première impression du mémoire conservé à l’IML, p. 180-183). Dans cette note, il reprend le vocabulaire “du langage ordinaire de l’Astronomie”: La position de la planète troublante sera entièrement définie par sa longitude moyenne $l^{\prime}$ .
Pour définir la situation de la planète troublée, il faut se donner sa longitude moyenne l et ses éléments osculateurs à savoir :
le grand axe $a$ ,
l’excentricité $e$ ,
la longitude du périhélie $\varpi$ .
(Première impression du mémoire conservé à l’IML, p. 175) Une solution périodique sera définie par $a=\varphi_{1}\left(t\right),e=\varphi_{2}\left(t\right),l-l^{\prime}=n_{1}t+% \varphi_{3}\left(t\right),l^{\prime}-\varpi=n_{2}t+\varphi_{4}\left(t\right)$ (1) où $n_{1}$ et $n_{2}$ sont des constantes dont le rapport est rationnel et les fonctions $\varphi$ sont des fonctions périodiques du temps. Etant donnée une solution périodique instable de période $\lambda$ , les solutions asymptotiques seront caractérisées par $a=\varphi_{1}\left(t\right)+\phi_{1}\left(t\right),e=\varphi_{2}\left(t\right)% +\phi_{2}\left(t\right),l-l^{\prime}=n_{1}t+\varphi_{3}\left(t\right)+\phi_{3}% \left(t\right),l^{\prime}-\varpi=n_{2}t+\varphi_{4}\left(t\right)+\phi_{4}% \left(t\right)$ (2) où les fonctions $\phi$ sont développables par rapport aux puissances croissantes de $\sqrt{\mu}$ , de $\cos\pi t/\lambda$ , de $\sin\pi t/\lambda$ et de $Ae^{\alpha t}$ si la solution est asymptotique lorsque $t\to-\infty$ ou de $Ae^{-\alpha t}$ si la solution est asymptotique pour $t\to+\infty$ . Poincaré pensait avoir montré que ces solutions étaient les mêmes. Mais ce que rien ne permettait de prévoir, ce sont les mêmes solutions particulières qui prendront la forme (2) pour t négatif et très grand et la forme (2) pour $t$ positif et très grand. (Première impression du mémoire, p. 177) Dans ces conditions, Poincaré montre que le grand axe et l’excentricité de la planète troublée s’écrivent sous la forme $a=\theta\pm\theta^{\prime}\sqrt{\mu},e=\theta_{1}\pm\theta^{\prime}_{1}\sqrt{\mu}$ où les fonctions $\theta$ sont des fonctions périodiques de $l^{\prime}-\varpi$ et $l-l^{\prime}$ et développables suivant les puissances de $\mu$ . Soit $\varphi=\theta_{1}\pm\theta^{\prime}_{1}\sqrt{\mu},$ Poincaré montre que si l’excentricité d’une trajectoire quelconque vérifie à un moment donné : $e<\varphi$ alors cette inégalité est toujours satisfaite. De même, pour des inégalités $\varphi<e$ . Comme au voisinage de chaque point, il y a une infinité de solutions périodiques instables, il y a aussi une infinité de surfaces asymptotiques : Nous aurons donc une infinité d’inégalités de cette nature et chacune d’elles nous donnera pour $a$ et $e$ une limite supérieure ou inférieure. En choisissant convenablement parmi ces inégalités, on peut resserrer autant qu’on le veut les limites entre lesquelles $a$ et $e$ restent comprises. Dans le cas particulier qui nous occupe, la stabilité est donc entièrement démontrée. (Première impression du mémoire, p. 179) Comme il le montre dans la lettre, Poincaré peut raffiner son résultat : Le grand axe (et il en est de même de l’excentricité) varie entre deux limites et la différence entre la limite supérieure et la limite inférieure est du même ordre de grandeur que $\sqrt{\mu}$ . (Première impression du mémoire, p. 183) Il en sera de même de $a(1+e)$ et de $a(1-e)$ . Or le rayon vecteur de la planète troublée reste constamment compris entre $a(1+e)$ et $a(1-e)$ . Si ainsi qu’il arrive dans les applications la valeur initiale de $a$ est notablement différente de 1 (rayon vecteur de la planète troublante) et si la valeur initiale de $e$ est très petite ; le rayon vecteur de la planète troublée (qui reste constamment compris entre la limite supérieure $a(1+e)$ et la limite inférieure $a(1-e)$ ) ne pourra approcher ni de 0 ni de 1 ; la distance de la planète troublée au Soleil ou à la planète troublante ne pourra donc devenir très petite.

C’est précisément là ce qui distingue mes résultats de ceux qu’a obtenus M. Bohlin, qui avait d’ailleurs été précédé dans cette voie par M. Hill.

M. Bohlin peut bien démontrer que le rayon vecteur de la planète troublée ne peut devenir très grand, mais non pas qu’il ne peut devenir très petit. De plus les limites que j’assigne au grand axe sont beaucoup plus resserrées que celles que leur assigne M. Bohlin ;⁷⁷ 7 [les limites, [quelque] de M. Bohlin, sont] rayé. La différence entre les deux limites supérieure et inférieure de M. Bohlin, reste finie quelque petit que soit $\mu$ ; la différence entre ma limite supérieure et ma limite inférieure est du même ordre de grandeur que $\sqrt{\mu}$ . Telles sont les considérations qui me paraissent de nature à répondre à vos objections ; j’établis pour les rayons vecteurs non seulement une limite supérieure mais une limite inférieure.⁸⁸ 8 Voir § 59, notes.

Ces considérations sont déjà pour la plupart développées dans la note B que je vous ai récemment envoyée. Je compléterai, si vous le désirez, cette note par quelques additions.

Votre ami dévoué,

Poincaré

ALS 5p. IML 45, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "19.03.2015 01:53"