3-31-13. Auguste Lebeuf to H. Poincaré

Montpellier, le 14 7bre 1901

Université de Montpellier

Faculté des Sciences, Mathématiques

Monsieur et Cher Maître,

Je vous transmets, corrigés, les manuscrits n° 59, 48 et 48 bis C. des T. 1823–1820.

1° n° 59. Le n° 59, Mémoire sur l’Inégalité lunaire à longue période dépendante de la différence des deux hémisphères terrestres, est un travail de première approximation que Laplace a repris ultérieurement (1824) et dont il a fait le Chap. III du Livre XVI, Tome V, page 424.

Les très grands coefficients provenant de l’intégration sont de la forme

$$\frac{A}{2(3f-2g-c)}\times \frac{B}{2(3f-2g-c)};$$

Dans la première approximation, n° 59, Laplace ne considère que ces termes.

Dans le 2^e calcul, $2(3f-2g-c)$ qui est “fort petit” est corrigé par le terme

$$-\frac{g}{4}{m}^2{\gamma }^2$$

ou

$$-\frac{5}{4}{e}^2(1-c^2)$$

Finalement, dans le 1er calcul, Laplace trouve que l’inégalité en longitude est moindre que 0",0163 $\cos (3fv-2gv-cv)$  C. des T. 1823, p. 239. tandis que dans le second “on trouve que l’expression de $Sv$ donnée par la formule (6) et au dessous de $\frac{1}{1000}$ de seconde”.

Tome V page 438.

Le Mémoire du Tome V est ainsi plus développé et plus complet que celui de la C. des T. de 1823. Il semble toutefois qu’il y a grand intérêt à publier ce dernier car la lecture, associée à la précédente, met en relief le procédé fondamental de Laplace et de la Mécanique Céleste, c’est à dire la résolution d’un problème par la méthode des approximations successives. Le renvoi placé à la suite prévient le lecteur.

Dans le calcul numérique on doit, pour obtenir le coefficient $0^{\prime \prime },0163\cos \mathrm{\dots }$ prendre (valeur donnée au T. V) au lieu de $\frac{1}{100}$ et lire

$$1^{\prime \prime },12\kappa \cos (3fv-2gv-cv),\text{valeur exacte},$$

au lieu de

$$1^{\prime \prime },2\kappa \cos (3fv-2gv-cv)\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\text{p. 238.}$$

Alors on obtient

$$0^{\prime \prime },0160\cos (3fv-2gv-cv)$$

au lieu de 0",0163 $\cos (3fv-2gv-cv)$ p. 239.

Je pense que l’on peut effectuer ces petites substitutions qui ne touchent point aux conclusions de Laplace.

Voici les incorrections typographiques relevées dans le Tome V.

			Lire:	au lieu de:
p.	428	ligne 5 en remontant	$\frac{g}{2}\frac{e{\gamma }^2\sin (3fv-2gv-cv+2\theta +\varpi )}{3f-2g-c}$	$\frac{g}{2}e{\gamma }^2\sin (3fv-2gv-cv+2\theta +\varpi )$
"	432	" 9 id	$-\frac{3K}{h^6}\gamma \cos (3fv-2gv+\theta )$	$-\frac{3}{h^6}\gamma \cos (3fv-2gv+\theta )$
"	436	en marge	(6)	(8)
"	438	" 13 en remontant	$\gamma =$	$\lambda =$
"	438	" 7 id	$D=0,01655101$	$D=0,016655101$

2° n° 48. On peut distinguer dans le Mémoire 48, le préambule p. 245–249, C. des T. 1823, et l’exposé analytique p. 249-257. Le préambule est reproduit dans l’historique du Livre XI, Chap. 1, Tome V, p. 24 à 28. Quelques passages sont textuels, d’autres résument la question de manière à former un tout homogène avec les matières composant la première partie du Chapitre I. L’exposé analytique est reproduit textuellement au Tome V, L. XI, Chap. IV. Les très petites modifications apportées au chapitre IV constituent des éclaircissements au texte de la C. des T. 1823. Voici la concordance entre les deux Mémoires :

C. des T. 1823	Tome V, Livre XI, Ch. IV
pages	pages
249–250	82–83	textuel
250	83–84	différences portant sur la méthode d’intégration
250–253	84–88	textuel
…	88–91	Mémoire 48bis, textuel
253–256	91–94	textuel
256–257	94–96	quelques compléments, texte plus explicite au T. V

3° n° 48bis. Le Mémoire : Additions au Mémoire précédent ou 48bis est fondu dans le Chapitre IV et reproduit textuellement aux pages 88–91.

En résumé, la fin du Chapitre I et le Chapitre IV du Tome V sont la reproduction à peu près intégrale des mémoires publiés d’abord dans la C. des T. de 1823. Vous estimez sans doute qu’il n’y a pas lieu de les faire publier à nouveau et qu’il suffira de les faire connaître aux lecteurs par leurs titres joints aux manuscrits.

Voici maintenant les anomalies typographiques relevées à cette occasion dans le Tome V.

			Tome V
			Lire:	au lieu de:
page	27	ligne 19 en descendant	$\frac{1^{\prime \prime }}{380}$	$\frac{1^{\prime \prime }}{300}$
"	89	" 5 id	$\int \left(q^{1(0)}\frac{d^2{q}^{1(1)}}{d{r}^2}-q^{1(1)}\frac{d^2{q}^{1(0)}}{d{r}^2}\right)𝑑r$	$\int \left(\frac{q^{1(0)}{d}^2{q}^{1(1)}}{dr}-\frac{q^{1(1)}{d}^2{q}^{1(0)}}{dr}\right)$
"	87	" 7 id	$\frac{d^2{q}^{1(0)}}{d{r}^2}$ et $\frac{d^2{q}^{1(1)}}{d{r}^2}$	$\frac{d^2{q}^{1(0)}}{dr}$ et $\frac{d^2{q}^{1(1)}}{dr}$
"	91	" 2	$\frac{c^{-n^{s}t}\frac{q^{1(s)}}{r}\int q^{1\left(s\right)}𝑑r\left[r{U}^{\left(i\right)}-\frac{r^{i+1}{Y}^{1(i)}}{a^i\left(1+\frac{i}{af}\right)}\right]}{\int q^{1{\left(s\right)}^2}𝑑r}$	$\mathrm{\cdots }\int \mathrm{\cdots }[r{U}^{(i)}-\frac{r^{i+1}{Y}^{1(i)}}{a^{(i)}\left(1+\frac{i}{af}\right)}$
"	91	" 8	$Q^{(i)}+\frac{r^i}{a^i}\frac{Y^{1(i)}}{1+\frac{i}{af}}$	$Q^i+\frac{r^{(i)}}{a^{(i)}}\frac{Y^{1(i)}}{1+\frac{i}{af}}.$

Dans ces deux formules, $i$ est un exposant pour $a$ et $r$ et non un indice. Je vous prie, Monsieur et bien Cher Maître, d’agréer le respectueux hommage des meilleurs sentiments de votre très humble et très obligé

A. Lebeuf

Au Pouzin, Ardèche jusqu’au 30 7bre

ALS 6p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "15.09.2016 19:02"