2-20-1. C. Delsaux to H. Poincaré

Cambrai, le 30 Mars 1908

Sous Ingénieur des Ponts et Chaussées — rue de Monstrelot 9

Monsieur Poincarré,

Je vous remercie du bienveillant accueil que vous avez daigné faire à ma première communication relative au pendule.

Cette question me tourmente encore. Je poursuis l’œuvre takitechnique de M. E. Lagout; j’en suis arrivé, dans mon ouvrage à la question du pendule. Ma méthode n’enseigne, du calcul infinitésimal, que la formule

$$\int x^m𝑑x=\frac{x^{m+1}}{m+1}$$

que M. Lagout démontre au moyen d’un rectangle.

$$t=2\sqrt{\frac{\mathrm{\ell }}{g}}$$

Les traités classiques donnent la formule dite de Galilée $t=\pi \sqrt{\frac{\mathrm{\ell }}{g}}$ sans aucun coëfficient relatif à l’amplitude de l’angle d’oscillation, ils enseignent ainsi l’isochronisme absolu des oscillations pendulaires, ce qui est une fausse affirmation. L’isochronisme des chutes rectilignes $AM$, $BM$, $CM$, $DM$ … etc. est absolu, mais il n’en est pas de même pour les chutes circulaires.

Un professeur d’ici et un jeune ingénieur de Polytechnique me refusent d’admettre la théorie suivante qui découle, comme disait M. E. Lagout, des ombres du calcul algébrique et ne m’inspire pas, pour cette raison, la même certitude qu’une preuve élémentaire, et c’est pourquoi je vous prie d’en être juge.

Si je considère, à un moment donné, la chute $MN$ d’un corps pesant, dans le vide, selon l’arc $(\alpha )$, ce corps franchit l’espace $(d\alpha )$ en un temps $(dt)$ et avec une vitesse $\sqrt{rgx}$, donc :

$$d\alpha =\sqrt{rgx}\cdot dt$$ (1)

Le professeur ne voulut pas me permettre de poser l’équation (1) cependant, je m’offrais, de la manière suivante, à lui en démontrer le bien fondé.

Chute $AOB$	Vitesse en (O) $=\sqrt{2gh}$
	Vitesse en (B) $=\sqrt{2g(h+h^{\prime })}$
Chute $CO{B}^{\prime }$	Vitesse en (O) $=\sqrt{2g^{\prime }\mathrm{\ell }}$ mais $g^{\prime }=g\frac{h}{l}$
donc	Vitesse en (O) $=\sqrt{2g\frac{h}{\mathrm{\ell }}\mathrm{\ell }}=\sqrt{2gh}$
De même :	Vitesse en $B^{\prime }=\sqrt{2g^{\prime }(\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\prime })}=\sqrt{2g(h+h^{\prime })}$

Si le corps tombe de ($C^{\prime }$) c’est la même chose, puisqu’il arrive en (O) avec la vitesse $\sqrt{2gh}$ comme dans les cas précédents.

Ainsi, sous la seule action de la pesanteur, un corps qui passe du niveau supérieur (AC) au niveau inférieur (BB’) arrive à ce dernier niveau animé d’une vitesse $\sqrt{2g(AB)}$, quel que soit le chemin qu’il ait suivi.

De l’équation (1) je tire

$$dt=\frac{dx}{\sqrt{2gx}}=\frac{1}{\sqrt{2g}}{x}^{-\frac{1}{2}}dx$$

et

$$\int 𝑑t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int x^{\frac{1}{2}}𝑑x$$ (2)

Il s’agit de faire la somme de zéro à ($h$) de tous mes produits variables $x^{\frac{1}{2}}dx$

Or,

$$\frac{\int 𝑑\alpha }{\int 𝑑x}=\frac{\alpha }{h}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\text{ou}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\int 𝑑\alpha =\frac{\alpha }{h}\int 𝑑x$$

Je multiplie par $x^{-\frac{1}{2}}$ chaque membre de l’égalité qui précède :

$$x^{-\frac{1}{2}}\int 𝑑\alpha =\frac{\alpha }{h}\int 𝑑x{x}^{-\frac{1}{2}}$$

Pour multiplier $\int 𝑑\alpha$ par un nombre, il suffit de multiplier chacun des termes de cette somme par ce nombre

$x^{-\frac{1}{2}}{\displaystyle \int 𝑑\alpha }$ $=x^{-\frac{1}{2}}d\alpha +x^{-\frac{1}{2}}d\alpha +x^{-\frac{1}{2}}d\alpha \mathrm{\dots }\text{ etc.}$

$={\displaystyle \int x^{-\frac{1}{2}}𝑑\alpha }={\displaystyle \frac{\alpha }{h}}{\displaystyle \int x^{-\frac{1}{2}}𝑑x}$

Je porte cette valeur dans l’équation (2) qui devient :

$$\int 𝑑t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\frac{\alpha }{h}\int x^{-\frac{1}{2}}𝑑x$$

Or,

${\displaystyle {\int }_0^h}{x}^{-\frac{1}{2}}𝑑x$ $={\displaystyle \frac{h^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}}={\displaystyle \frac{h^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{h}$

${\displaystyle \int 𝑑t}$ $=t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2g}}}{\displaystyle \frac{\alpha }{h}}2\sqrt{h}={\displaystyle \frac{2\alpha }{\sqrt{2gh}}}$

Mais $\alpha =2\pi \mathrm{\ell }A$ et $h=l(1-\cos A)$

donc

$$t=\frac{4\pi \mathrm{\ell }A}{\sqrt{2g\mathrm{\ell }(1-\cos A)}}=\pi \sqrt{\frac{\mathrm{\ell }}{g}}\frac{2\sqrt{2}A}{\sqrt{1-\cos A}}$$

1° pour une chute $\alpha ={90}^{\circ }$

$$\frac{2\sqrt{2}A}{\sqrt{1-\cos A}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-0}}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1,414}{2}$$

2° Pour une chute $\alpha ={36}^{\circ }$

$$\frac{2\sqrt{2}A}{\sqrt{1-\cos A}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-0,8090}}\cdot \frac{36}{360}=\frac{1,294}{2}$$

3° Pour une chute $\alpha =1^{\circ }$

$$\frac{2\sqrt{2}A}{\sqrt{1-\cos A}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-0,9998}}\cdot \frac{1}{360}=\frac{1,111}{2}$$

Pour $(2t)$ ou une oscillation composée d’une chute et d’une ascension

1° $2t=\pi \cdot 1,414\sqrt{\frac{l}{g}}=4,44\sqrt{\frac{l}{g}}$

2° $2t=\pi \cdot 1,294\sqrt{\frac{l}{g}}=4,01\sqrt{\frac{l}{g}}$

3° $2t=\pi \cdot 1,111\sqrt{\frac{l}{g}}=3,49\sqrt{\frac{l}{g}}$

Il faut donc que l’amplitude descende encore bien au dessous de 1° de part et d’autre du diamètre vertical pour obtenir la formule de Galilée qui fixe la valeur de ($g$).

Tout porte à croire que cette valeur découle plutôt de l’observation d’une oscillation d’amplitude sensible et que $9,8088$ est trop faible.

Je vous adresse l’étude de mon pauvre et intéressant camarade Goudin ex Commis des Ponts et Chaussées. Si vous aviez un emploi de correcteur d’épreuves de mathématiques ou de calculateur à lui donner, je pense que votre confiance serait bien placée.

Recevez Monsieur Poincarré le nouveau témoignage de ma profonde reconnaissance,

Delsaux

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "31.07.2014 23:33"