3-15-34. H. Poincaré to George Howard Darwin

[Avant le 12.10.1901]

Mon cher Collègue,

Soient $P$ et $P^{\prime }$ deux des fonctions ${𝖯}_i^s$ ou ${𝔓}_i^s$ soient $Q$ et $Q^{\prime }$ les fonctions $Q$ correspondantes, $K$ et $K^{\prime }$ les coëff. de stabilité correspondants (j’emploie ces notations par ce que je ne sais pas faire les lettres gothiques). Soit $R$ le radical

$$\sqrt{({\nu }^2-1)\left({\nu }^2-\frac{1+\beta }{1-\beta }\right)}.$$

Vous trouvez :

$$K-K^{\prime }={\int }_{{\nu }_0}^{\mathrm{\infty }}\frac{d\nu \left[P^2(\nu )P^{\prime 2}({\nu }_0)-P^2({\nu }_0)P^{\prime 2}(\nu )\right]}{P^2(\nu )P^{\prime 2}(\nu )R}$$

et vous ajoutez que tous les éléments de l’intégrale doivent être de même signe ou en d’autres termes que le rapport $P/P^{\prime }$ doit toujours être croissant ou toujours décroissant. Pourquoi? Je ne vois aucune raison pour cela.

S’il en était toujours ainsi cela serait encore vrai pour $P={𝖯}_1^1$, mais alors notre intégrale se réduit à $-K^{\prime }$, de sorte que le coefficient de stabilité $K^{\prime }$ ne pourrait jamais s’annuler.

C’est en effet ce qui arrive pour quelques unes des fonctions $P^{\prime }$ à savoir pour toutes celles qui contiennent ${𝖯}_1^1$ en facteur, parce que justement le rapport $\frac{P^{\prime }}{{𝖯}_1^1}$ est alors toujours croissant, et justement les coëff. de stabilité correspondants ne peuvent s’annuler.

Votre erreur est donc manifeste. Maintenant il doit y avoir aussi une erreur dans les calculs numériques. Celle-là je ne puis la retrouver, n’ayant pas les détails du calcul. Mais j’ai commencé à vérifier si l’ellipsoïde dont vous donnez les axes est bien le Jacobien critique.

Seulement le calcul et surtout la vérification me prendront un certain temps parce que je [fin du fragment]

AL fragment, 2p. CUL-DAR251.4992, Cambridge University Library.

Time-stamp: "13.01.2016 20:18"