Alexander S. Chessin to H. Poincaré

Nov. 23 ’98

282 Amsterdam Ave. — New York, U.S.A.

Monsieur,

Je vous demande mille pardons pour la liberté que je prends de vous adresser et je vous serai bien reconnaissant si vous voulez décider une question sur laquelle j’ai une discussion avec un de mes collègues à l’Université de Harvard. Il s’agit d’une généralisation des théorèmes de Green et de Cauchy. Quelques remarques préliminaires sont nécessaires.

1. D’abord je dirai qu’une fonction possède une propriété quelconque en général si elle la possède excepté en points formant un ensemble mesurable d’étendue $0$.

2. Soient $L$ et $L^{\prime }$ deux lignes commençant et aboutissant aux mêmes points, la première singulière, la seconde ne contenant que des points singuliers formant au plus un ensemble mesurable d’étendue $0$, pour une fonction donnée $f(z)$. Supposons, de plus, qu’il n’y aient d’autres lignes singulières dans le voisinage de $L$. Nous savons que $f(z)$ est intégrable le long de $L^{\prime }$. Si donc il existe une limite pour ${\int }_{L^{\prime }}f(z)𝑑z$ quand $L^{\prime }$ tend d’une manière quelconque de se rapprocher indéfiniment de $L$, nous dirons que cette limite représente ${\int }_{L}f(z)𝑑z$.

3. Cela posé, soit $f(x)$ une fonction de la variable réelle $x$, continue dans une intervalle $(a,b)$ et admettant en général une dérivée $f^{\prime }(x)$. Il est clair que $f^{\prime }(x)$ sera intégrable dans toute l:intervalle $(a,b)$. En effet, divisons cette intervalle en d’autres par un procédé quelconque et dénotons celles de ces sous-intervalles qui ne contiennent des points singuliers de $f^{\prime }(x)$ qu’aux extrémités au plus, par ${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$, … ; la fonction $f^{\prime }(x)$ sera intégrable dans chaque intervalle ${\mathrm{\Delta }}_n$ car $\alpha$ et $\beta$ étant les extrémités de ${\mathrm{\Delta }}_n$ nous aurons

$${\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\prime }(x)𝑑x=\underset{{\epsilon }^{\prime }>0}{\underset{\epsilon =0}{lim}}{\int }_{\alpha +\epsilon }^{\beta -\epsilon }{f}^{\prime }(x)𝑑x=\underset{{\epsilon }^{\prime }=0}{lim}f(\beta -{\epsilon }^{\prime })-\underset{\epsilon =0}{lim}f(\alpha +\epsilon )=f(\beta )-f(\alpha )$$

à cause de la continuité de $f(x)$. Pour la même raison la somme des intégrales formées pour ${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$, … tend vers une limite déterminée quand le nombre de divisions de l’intervalle $(a,b)$ augmente indéfiniment. Cette limite est ce qu:on nomme l’intégrale ${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)𝑑x$; ce qui prove notre proposition.

4. Le théorème que nous venons de démontrer est capable d’une extension. Soit $f(x,y)$ une fonction continue des deux variables réelles $x$ et $y$ dans un domaine $(D)$ et admettant en général la dérivée partielle $\partial f/\partial x$. Je dis que la fonction $\partial f/\partial x$ est intégrable^(*) dans tout le domaine $(D)$. Il suffit de le prouver pour un carré formé de droites parallèles aux axes des $x$ et des $y$. En effet on prouverai alors le théorème par un procédé analogue à celui employé plus haut pour la fonction $f(x)$.

Soit donc $(x,y)$; $(x+\xi ,y)$; $(x+\xi ,y+z)$ et $(x,y+z)$ les quatre sommets du carré donné. La fonction $\partial f/\partial x$ n’a pas de points singuliers en dedans de ce domaine mais elle peut en avoir sur les droites formant son contour. Ces droites peuvent même être entièrement singulières. Supposons d’abord que la dernière hypothèse n’a pas lieu. Alors une première intégration nous donne

$${\int }_x^{x+\xi }\frac{\partial f}{\partial x}𝑑x=f(x+\xi ,y)-f(x,y)$$

et une seconde, la fonction $f(x,y)$ étant continue

$${\int }_x^{x+\xi }{\int }_y^{y+\eta }\frac{\partial f}{\partial x}𝑑x𝑑y={\int }_y^{y+\eta }f(x+\xi ,y)𝑑y-{\int }_y^{y+\eta }f(x,y)𝑑y$$

prove l’intégrabilité de $\partial f/\partial x$ dans le domaine donné.^(**)

Admettons maintenant l’existence de lignes singulières. Nous n’aurons que les remplacer par d’autres infiniment approchées et non-singulières, après quoi il est aisé de montrer que la double intégrale formée de cette manière tend vers une limite déterminée quand les lignes formant le nouveau contour du domaine tendent à coïncider avec celles du contour donné.

5. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de Green dans cette forme plus générale.

Théorème I. Soient $X\mathit{}\mathrm{(}x\mathrm{,}y\mathrm{)}$ et $Y\mathit{}\mathrm{(}x\mathrm{,}y\mathrm{)}$ deux fonctions des variables réelles $x$ et $y$, continues dans un domaine donné $\mathrm{(}D\mathrm{)}$ et satisfaisant en général l’équation

$$\frac{\partial X}{\partial y}=\frac{\partial Y}{\partial x}.$$

L’intégrale

$$\int X𝑑x+Ydy$$

pris le long du contour fermé de $(D)$ est égale à $0$.

D’où suit le théorème de Cauchy généralisé :^(***)

Théorème II. Soit $f(z)$ une fonction uniforme et continue dans un domaine $(D)$ et en général analytique. L’intégrale $\int f(z)𝑑z$ pris le long du contour fermé de $(D)$ est égale à $0$.

C’est sur ce théorème que j’ai basé une démonstration du fait, que tout point auquel une fonction uniforme et en général analytique cesse d’être analytique est un infini de cette fonction.^(****)

Ce sont les Théorèmes I & II qui ont été critiqués par un de mes collègues et je vous serai infiniment reconnaissant si vous voulez bien m’en donner votre opinion.

Je suis, Monsieur, votre admirateur profond et humble serviteur.

Alexandre S. Chessin

(de l’Université Johns Hopkins)

^(*) Superficiellement.

^(**) On sait que la double intégrale est indépendante de l’ordre de l’intégration successive dans les conditions prescrites.

^(***) Annals of Mathematics, vol. 11, p. 52.

^(****) Ibd.

ALS 6p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "30.09.2014 23:29"