2-10-3. H. Poincaré to Joseph Boussinesq

[Après 05.1893]

Mon cher confrère,

Brillouin a parfaitement raison.¹¹ 1 Marcel Brillouin (1893a, 1893b) a étudié le mouvement des solides au milieu des fluides. Il cherchait une explication de la structure des raies spectrales à travers la vibration des molécules dans l’éther. La théorie élastique de la lumière de Boussinesq (1893c, 1893b, 1893a) assimile l’éther, d’une part, à un fluide subtil, dans lequel les molécules des corps se déplacent, et d’autre part, à un solide élastique isotrope. Les notes de Boussinesq et de Brillouin sont présentées à l’Académie des sciences de Paris le 10.07.1893, mais le lien entre ces deux notes reste implicite.

Soit 1 la vitesse de propagation, 1 le rayon de la sphère.

Soit $\varphi$ la fonction des vitesses. On doit avoir :

\displaystyle\Delta\varphi=\frac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}

pour

\displaystyle r>1

\displaystyle\frac{d\varphi}{dr}=\mathfrak{H}

(pour

\displaystyle r=1

)

$\mathfrak{H}$ fonction donnée du temps.

Il vient donc :

\varphi=\frac{\mathfrak{F}(t-r)+\mathfrak{F}_{1}(t+r)}{r}

Pour $r>t+1$ , $t>0$ , $\varphi$ doit être nul, ce qui exige que $\mathfrak{F}_{1}=0$ .

Il reste donc :

\varphi=\frac{\mathfrak{F}}{r},

d’où

\frac{d\varphi}{dr}=-\frac{\mathfrak{F}^{\prime}}{r}-\frac{\mathfrak{F}}{r^{2}}

et par conséquent pour $r=1$ :

\mathfrak{F}^{\prime}+\mathfrak{F}=-\mathfrak{H},

j’écris les arguments²² 2 Le manuscrit porte à cet endroit des traces de calcul et un dessin en crayon de main inconnue.

\mathfrak{F}^{\prime}(t-1)+\mathfrak{F}(t-1)=-\mathfrak{H}(t).

Pour $t<0$ , $\mathfrak{H}$ et $\mathfrak{F}$ sont nuls. La période d’agitation du corps dure depuis $t=0$ jusqu’à $t=T$ . A partir de l’époque $T$ , $\mathfrak{H}$ est nul et le corps reste au repos.

L’équation nous donne :

\mathfrak{F}(t-1)=-e^{-t}\int_{0}^{t}\mathfrak{H}(t)e^{t}dt

Pour $t>T$ , cela devient³³ 3 Variante : “ou pour $r>1$ , $\mathfrak{F}(t-r)=-e^{-(t-r)}\int_{0}^{t}\mathfrak{H}e^{t-r}dt$ et $\varphi=-\frac{e^{-(t-r)}}{r}\int_{0}^{t}\mathfrak{H}e^{(t-r)}dt.$ Pour $t>T$ , il reste : $\varphi=-\frac{e^{-(t-r)}}{r}\int_{0}^{T}\mathfrak{H}e^{(t-r)}dt.$ $\mathfrak{F}(t-r)=$ Pour $t>T$ , cela devient … ”.

\mathfrak{F}(t-1)=-e^{-t}\int_{0}^{T}\mathfrak{H}(t)e^{t}dt.

La constante

\int_{0}^{T}\mathfrak{H}(t)e^{t}dt

que j’appellerai $C e$ ne sera pas nulle en général et il restera pour $t>T$

\mathfrak{F}(t-1)=-Ce^{-(t-1)}

Pour $r>1$ , $t>T+r-1$ , on aura

\mathfrak{F}(t-r)=-Ce^{-(t-r)}

\varphi=-\frac{C}{r}e^{-(t-r)}.

Il y a donc un résidu; mais il va sans dire que si les dimensions du corps sont petites, la décroissance sera extraordinairement rapide.

A vous de tout cœur,

Poincaré

ALS 4p. MS 4229, 258, Bibliothèque de l’Institut de France.

Time-stamp: "24.09.2018 21:57"

Références

J. V. Boussinesq (1893a) Considérations diverses sur la théorie des ondes lumineuses. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 117, pp. 193–199. External Links: Link Cited by: footnote 1.
J. V. Boussinesq (1893b) Expression de la résistance opposée par chaque molécule pondérable au mouvement vibratoire de l’éther ambiant. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 117, pp. 138–144. External Links: Link Cited by: footnote 1.
J. V. Boussinesq (1893c) Introduction naturelle de termes proportionnels aux déplacements de l’éther (ou termes de Briot), dans les équations de mouvement des ondes lumineuses. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 117, pp. 80–86. External Links: Link Cited by: footnote 1.
M. L. Brillouin (1893a) Déformation produite dans un milieu isotrope indéfini par le déplacement d’une sphère solide. Annales de chimie et de physique 30, pp. 245–264. External Links: Link Cited by: footnote 1.
M. L. Brillouin (1893b) Vibrations propres d’un milieu indéfiniment étendu extérieurement à un solide. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 117, pp. 94–96. External Links: Link Cited by: footnote 1.