James Joseph Sylvester to H. Poincaré

13 Jaⁿ 1896

5 Hertford St. — Mayfair London

Cher M. Poincaré,

En parlant de la valeur de

$$\sum \frac{{\varrho }_{\alpha }-N}{1-{\varrho }_{\alpha }}\beta$$

où ${\varrho }^{\alpha }=1$ j’ai commis une double erreur. Sa valeur sera ou …en effet c’est $p-\frac{\alpha +1}{2}$) ou $p$ est le nombre entier compris entre $1,2,3,\mathrm{\dots },\mathrm{?}$ qui satisfait à l’équation

$$p\beta -q\alpha =N$$

de sorte que le nombre de solutions en nombres … l’équation

$$px+y=2n=N$$

et $x$ et $y$ sont tous les deux plus grand que $N/4$ et … que $3N/4$ en … … donnée dans une lettre précédente sera (sauf le cas ou $p$ est un nombre premier)

$$({\sigma }^2-p-1\mathrm{?})N+\mu -11\sigma +Q+R$$

où

$$Q=2\sum (\frac{N}{\alpha \beta }-(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }))$$

$$=N(\mu {\sigma }^2)-2(\mu -1)\sigma$$

De sorte que

$$X=(N(\mu -1)\sigma -\mathrm{\dots }{\sigma }_2)+R$$

$R$ étant une qualité qu’on place facilement entre des … et d’un .. de .. inférieur à celle de $Q$ c-à-d de l’?? $Q/n$.

Avec cette formule on peut faire croitre $n$ et sauf des cas [speciales?] les $\alpha ,p,\mathrm{\dots },\varphi ,\omega$ pour $N=4q$ .. et excepté d’autres cas [speciales?] .. .. de $4q-2$ à $4q$.

En effet en prenant $4K-2$, $4K$, $4K+2$ pour tous les … valeurs de N les .. .. les mêmes si ni $K$, ni $2K+1$, ni $3K+1$ sont des nombre premiers. Ainsi j’attends (avec humilité) très tôt à pouvoir établir mon théorème donné dans le journal Nature il y a deux ou trois semaines.

Chose singulière au lieu de

$${(\mathrm{\Sigma }\frac{1}{1-x^{\alpha }})}^2$$

pris pour la fonction génératrice on peut prendre

$${(\mathrm{\Sigma }\frac{1}{1-x^{\alpha }})}^n$$

où $n>2$. Mais en faisant ainsi et en mettant le cas de $n>2$ nombre premier pour obtenir le nombre de [partitions?] de $N$ en deux nombres premiers il faut diviser le coefficient de $x^{2\alpha }$ par [..].

Mais il est beaucoup plus simple à prendre $r=2$. La méthode dont je me sers et celle que j’ai déjà employé[e] dans les leçons sur les [P..] que la Société Mathématique de Londres va publier “J…”

[..] à vous cher et très dévoué M. Poincaré,

J. J. Sylvester

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Last edit: 1.12.2013