2-48-20. Alfred Potier to H. Poincaré

25 Janvier 1905

Mon cher Confrère,

La phrase définissant les substitutions propres est un pléonasme ou une bêtise car on ne peut satisfaire à la condition $S^2=-1$ que si toutes les coordonnées sont altérées non seulement dans $S$ mais dans $S^2$; en voici l’origine.

On m’avait posé la question : Est-il possible qu’un tableau de $N^2$ cosinus directeurs soit gauche, ou que ${\alpha }_{ij}+{\alpha }_{ji}=0$, la réponse est la suivante, on peut toujours s’arranger par un numérotage convenable des axes de manière que les ${\alpha }_{jj}$ ou les éléments constituant la diagonale de gauche à droite et de haut en bas soient disposés en ordre croissant depuis $(00)$ jusqu’à $(NN)$. Alors le tableau général se décompose en carrés dans chacun desquels les ${\alpha }_{jj}$ ont la même valeur, variable d’un carré à l’autre dans les bandes rectangulaires en dehors de ces carrés tous les cosinus sont nuls de sorte que si un de ces éléments diagonaux est unique il est forcément égal à 1 et situé à l’extrémité inférieure de la diagonale; il est évident qu’il peut y avoir plusieurs de ces éléments diagonaux égaux à l’unité à la suite les uns des autres c’est à dire plusieurs coordonnées non altérées, mais en dehors de ce cas où le carré ne contient qu’un élément tous les autres carrés doivent avoir un nombre pair d’éléments et chacun d’eux correspond à une substitution n’intéressant que certains éléments.

J’avais appelé substitution propre celles dans lesquelles il n’y a qu’un carré embrassant tout le tableau; accidentellement j’ai vu qu’une solution quelconque étant obtenue on pouvait en déduire une autre dans laquelle tous les éléments diagonaux sont nuls et réciproquement. Les solutions de ce type à éléments diagonaux nuls et sans ligne ni colonne composées de zéros sont les seules intéressantes et sont aussi les solutions de $S^4=1$.

Je vous remercie de votre indication. Monsieur Fricke est précisément l’auteur de l’article sur les Fonctions automorphes dans l’Encyclopédie; ces articles se vendent trois ou quatre marks ce sera donc très succinct et il ne manquera pas de renvoyer abondamment au livre que vous me citez et qui comprend un gros volume (22 marks) de 1897 et un second volume dont la première moitié seule a paru en 1901 comme l’indique un catalogue de Teubner que je viens de recevoir. C’est donc celui-ci qui fera mon affaire mais le nom de Mr Fricke y est associé avec celui de F. Klein que je croyais au dessus des petitesses que vous me signalez.

Je vous remercie bien,

Votre dévoué Confrère,

A. Potier

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "12.08.2016 01:40"