2-48-3. Alfred Potier to H. Poincaré

Dimanche 22 mars 1891

Cher Monsieur,

Des examens de l’École des Mines m’ont occupé hier, et avant hier, je n’ai pas eu le loisir de vous répondre plus tôt.

Les formules des réflexions métalliques donnent en posant

$$n+gi=\mathrm{\Theta }{e}^{\epsilon i}\text{, et }{U}^2{e}^{2ui}={\mathrm{\Theta }}^2{e}^{2\epsilon }-{\sin }^{2}i,$$

pour le rapport des vibrations polarisées dans les deux azimuths principaux

$$\frac{\cos iU{e}^{ui}-{\sin }^{2}i}{\cos iU{e}^{ui}+{\sin }^{2}i}.$$

Sous l’incidence principale $I$, $U=\sin I\mathrm{tg}I$, le rapport purement imaginaire se réduit à $\text{i}\mathrm{tg}\frac{u}{2}$. Jamin, Quincke et autres ont mesuré le rapport des amplitudes ($\mathrm{tg}\beta$ de Jamin) ainsi que $I$, on en déduit

$${(n+gi)}^2={\sin }^{2}I(1+{\mathrm{tg}}^{2}I{e}^{4\beta i})$$

$$n^2-g^2={\sin }^{2}I(1+{\mathrm{tg}}^{2}I\cos 4\beta )$$

Pour l’argent $I$ varie de 75° (rouge) à 66° (violet) $\mathrm{tg}I$ de 3,7 à 2,3 et $\beta$ varie de 41 à 40°. Le $\cos 4\beta$ est donc $-0,95$, ${\mathrm{tg}}^{2}I\cos 4\beta$ est négatif et plus grand que 1.

Même résultat pour le métal des miroirs $\mathrm{tg}I$ varie de 4 à 3, $\beta$ oscille autour de 28°, soit $\cos \beta =-0,38$.

Pour le zinc et l’acier $\beta$ est voisin de 20° et $\cos 4\beta$ positif d’où $n^2>g^2$.

La valeur de $n$ (argent) est environ de $1/4$, ce qui se rapproche singulièrement du résultat trouvé par Kundt, par la méthode du prisme.[*]

Je pensais donc me rapprocher de la réalité en considérant dans un milieu fortement réfléchissant la longueur d’onde comme grande et appuyer votre hypothèse Neumann, en montrant que la grande viscosité $b$ pourrait même dans ce cas n’entraîner qu’une faible consommation d’énergie ; cette consommation me parait donnée par la valeur moyenne de

$$b\frac{{\partial }^3\xi }{\partial z^2\partial t}\cdot \frac{\partial \xi }{\partial \tau },$$

soit à période égale par celle de $b\frac{{\partial }^2\xi }{\partial z^2}\xi$, intégrée depuis $z=0$, surface du métal, jusqu’à l’infini; c’est à dire $\frac{b}{2g}(n^2-g^2)$ ou $na$. L’hypothèse du petit indice, ou de la longueur d’onde très grande, me paraissait favorable à la thèse (que je combats) et plus conforme à la réalité. Elle donne du reste à l’amplitude réfléchie

$$\frac{{(1-n)}^2+g^2}{{(1+n)}^2+g^2}$$

une valeur très voisine de l’unité.

Quant à la présence d’un coefficient négatif, je pense qu’on peut l’attribuer à l’action de la matière pondérable; si on suppose le mouvement $\mathrm{\Xi }$ de celle-ci déterminé par une équation

$$\alpha \frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}+\beta \frac{\partial \xi }{\partial t}-\mathrm{\cdots }=(\mathrm{\Xi }-\xi )+a\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial t}+b\frac{{\partial }^2\mathrm{\Xi }}{\partial t^2}+\mathrm{\cdots }$$ (1)

Soit en appelant comme vous $ip$ l’exposant dépendant du temps

$$\mathrm{\Xi }=\xi f(p)$$

on a pour déterminer les $\xi$ des équations de

$${\mathrm{\Delta }}^2\xi -\frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial x}=\xi f(p)$$ (2)

et il est assez facile de faire des hypothèses vraisemblables sur l’origine des $\alpha$, $\beta$, … $a$, $b$, donnant pour les coefficients de $\xi$ une valeur imaginaire, avec partie réelle positive, ou négative à volonté : si de plus on suppose que non seulement $\mathrm{\Xi }$, mais les 2 autres composantes entrent dans l’équation (1), les équations (2) deviennent

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{\Delta }}^2\xi -\frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial x}=\xi f(p)+\eta f_1(p)+\zeta f_2(p)\hfill \\ \hfill \mathrm{\dots }\hfill \\ \hfill \mathrm{\dots }\hfill \end{array}$$ (3)

et l’on voit aisément que les seconds membres doivent être les dérivées d’une fonction quadratique des $\xi$, $\eta$, $\zeta$, de sorte que cette forme générale (3) explique la double réfraction, la dispersion, anormale ou non, avec terme de Briot pour les corps transparents, la réfraction et la réflexion, cristalline ou non, en conduisant aux formules de Fresnel, et sa direction de vibration. C’est aussi simple, aussi condensé que possible, et je ne vois rien qui puisse se comparer à cela : c’est pourquoi je continue à penser que ces équations représentent réellement les phénomènes lumineux ; que les $\xi$, $\eta$, $\zeta$ soient réellement des déplacements des particules d’un éther je l’ignore ; mais on doit le supposer si on veut expliquer mécaniquement ces équations (3) qui me paraissent avoir un caractère expérimental, si on y joint la notion que l’intensité est proportionnelle à ${\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2$.

Je vous remercie de l’indication de Voigt ; je n’ai pas les annales de Göttingen sous la main, et avoue n’y avoir jamais rien lu, ayant eu des reproductions des mémoires de Weber et de Gauss à part.

Je suppose que vous avez remarqué que les 2 formes

$$\frac{1}{2}\epsilon \left[{\left(\frac{\partial \xi }{\partial y}+\frac{\partial \eta }{\partial x}\right)}^2+\mathrm{\dots }-4\left[\frac{\partial \eta }{\partial y}\frac{\partial \zeta }{\partial z}+\frac{\partial \xi }{\partial x}\frac{\partial \zeta }{\partial z}+\frac{\partial \xi }{\partial x}\frac{\partial \eta }{\partial y}\right]\right]d\tau$$

et

$$\frac{1}{2}\epsilon \left[{\left(\frac{\partial \xi }{\partial y}-\frac{\partial \eta }{\partial x}\right)}^2+{\left(\mathrm{\dots }\right)}^2+{\left(\mathrm{\dots }\right)}^2\right]d\tau$$

de l’énergie potentielle sont équivalentes, quand on fait l’intégration dans un espace limité par une surface où $\xi$, $\eta$, $\zeta$ sont nuls, à condition que $\epsilon$ reste le même dans tout l’espace ; qu’il n’y ait pas de surface de séparation ; sinon les 2 expressions diffèrent par des intégrales de surface où entrent les quantités qui vous préoccupent. Il y a peut-être là une solution pour la difficulté dont vous m’entretenez ; j’espère à votre retour à Paris, que nous pourrons en causer.

Votre bien dévoué,

A. Potier

[*] J’ajoute que pour les corps avec bande d’absorption intense, l’indice s’abaisse dans le voisinage de la bande (fuchsine).

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 6.08.2018 19:04"