1-1-98. Gösta Mittag-Leffler to H. Poincaré

[18/3/90]

Mon cher ami,

M. Phragmén a dû vous répondre quant à l’époque où votre mémoire paraîtra.¹¹ 1 Le 20 mars 1890, Phragmén écrit à Poincaré pour lui suggérer quelques corrections (voir annexe n°3). Quant aux frais de la nouvelle publication je ne sais rien là-dessus avant que la publication sera tout fait mais alors je me permettrai de vous²² 2 Variante : “faire une communication là-dessus.” les communiquer.

J’ai deux élèves qui suivent votre cours maintenant M. Kobb et Mademoiselle Lagerborg.³³ 3 Kobb et Lagerborg sont admis à la Société mathématique de France du 5 février 1890. Kobb y prononcera une courte conférence (Kobb 1891) sur les surfaces développées. Ils sont tous les deux très enthousiasmés quoiqu’ils éprouvent une certaine difficulté de saisir au fond toutes vos profondes idées. M. Bohlin avait espéré aussi de pouvoir aller à Paris mais il s’est trouvé au dernier moment qu’il ne pouvait pas.

Permettez moi de vous⁴⁴ 4 Variante : “communiquer”. exposer un résultat assez remarquable qui a été trouvé par un autre de mes élèves M. Fredholm et que je vous prie de communiquer aux “comptes rendus” si vous trouvez cela opportun.⁵⁵ 5 Mittag-Leffler fait référence au travail de Fredholm, sur une classe de lignes singulières (Fredholm 1890, 1955, 1–5). Les travaux de Fredholm donneront lieu à une note de Mittag-Leffler aux Comptes rendus (Mittag-Leffler 1890) qui paraîtra aussi dans le tome 15 des Acta mathematica (Mittag-Leffler 1891b). Dans cette note, Mittag-Leffler expose la démonstration du résultat de Fredholm en insistant sur le fait que la série $\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{a^{\nu}x^{\nu^{2}}}\left|a\right|<1$ n’admet pas de prolongement analytique au delà du domaine de convergence alors que la fonction ainsi définie et ses dérivées sont continues sur sa frontière. En posant $a=e^{u}$ , $x=e^{t}$ , cette fonction se ramène à une solution de l’équation de la chaleur. Selon Zeilon, le rédacteur de la biographie de Fredholm (Fredholm 1955, I–XVI), celui-ci considérait que “c’était justement la relation avec l’équation de la chaleur qui donnait de l’intérêt à sa série” et qu’“il n’avait jamais approuvé que Mittag-Leffler, dans sa présentation de la “transcendante remarquable de M. Fredholm”, ait surtout insisté sur ce que la fonction possède des dérivées de tous les ordres, continues sur le cercle de convergence, propriété qu’il a regardée comme étant au fond assez banale”. Alors que le résultat de Fredholm est juste, sa démonstration contient une interprétation erronée d’une remarque de Kovalevskaia sur les équations aux dérivées partielles (Kovalevskaia 1875, 22), comme l’ont observé Khavinson & Shapiro (1994). Ces derniers ont corrigé la démonstration de Fredholm avec l’aide du théorème de Zerner (1971). A ce sujet, voir aussi le récit de Bottazzini & Gray (2013, 624).

Autant que je sache toutes les fonctions qui n’existent que dans un certain domaine du plan et qui ont été étudié[es] jusqu’ici cessent d’exister parce que les fonctions elles-mêmes ou leurs dérivées deviennent discontinues sur la frontière. M. Fredholm a trouvé dans un des champs les plus connus de l’Analyse une fonction qui est continue ainsi que toutes ses dérivées sur toute la frontière qui limite le domaine d’existence de la fonction.

Ecrivez la fonction $\theta$ sous la forme

\sum\limits_{\nu=-\infty}^{\infty}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}=\sum\limits% _{\nu=-\infty}^{-1}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}+\sum\limits_{\nu=0}^{% \infty}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}

et mettez⁶⁶ 6 Variante : “Cette fonction vérifie l’équation partielle $\frac{{\partial\varphi}}{{\partial t}}=\frac{{\partial^{2}\varphi}}{{\partial u% ^{2}}}$ ”.

\varphi(t,\;u)=\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}.

Si la partie réelle de $\nu$ est négative, la fonction est une fonction uniforme de t pour toutes les valeurs de t, dont la partie réelle soit négative. La fonction / ainsi que toutes ses dérivées sont des fonctions continues de t sur l’axe imaginaire. Mais cet axe imaginaire forme la limite du domaine d’existence de la fonction. Pour voir cela vous n’avez que faire l’observation que la fonction $\varphi(t,\;u)$ satisfait à l’égalité

\frac{{\partial\varphi}}{{\partial t}}=\frac{{\partial^{2}\varphi}}{{\partial u% ^{2}}}

et de mettre $\varphi(t,\;u)=\Phi(t-t_{0})$

\varphi\left({t,u}\right)=\varphi\left({t_{0},u}\right)+\left({\frac{{\partial% \varphi}}{{\partial t}}}\right)_{t=t_{0}}\frac{{t-t_{0}}}{{1!}}+\cdots=\varphi% \left({t_{0},u}\right)+\left({\frac{{\partial^{2}\varphi}}{{\partial t^{2}}}}% \right)_{t=t_{0}}\frac{{t-t_{0}}}{{1!}}+\cdots

où $t_{0}$ est un point sur l’axe imaginaire.

D’après le théorème connu de Madame Kowalevski⁷⁷ 7 Kovalewskaia désigne par $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ une série de puissances de $y-b$ . La série $\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{\frac{{d^{2\nu}\varphi_{0}\left({y,b}\right)}}{{% dy^{2\nu}}}\frac{{\left({x-a}\right)^{\nu}}}{{\nu!}}}$ vérifie formellement l’équation de la chaleur. Kovalewskaia montre alors qu’une telle série est nécessairement divergentes si la série $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ admet un rayon de convergence fini: [… ] daraus folgt, dass die Reihe $\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{\frac{{d^{2\nu}\varphi_{0}\left({y,b}\right)}}{{% dy^{2\nu}}}\frac{{\left({x-a}\right)^{\nu}}}{{\nu!}}}$ niemals convergent ist, wie klein man auch $x-a$ , $y-b$ annehmen möge, wenn die Reihe $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ nur einen beschränkten Convergenzbezirk besitzt. Aber auch wenn $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ eine beständig convergirende Reihe ist, kann die vorstehende Reihe beständig divergent sein. Dies ist z. B. der Fall, wenn man $\varphi_{0}(y,b)=\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}\frac{(y-b)^{\nu}}{(\nu!)^{1/4}}$ annimmt, weil dann die eben angegebenen Bedindungen für die Coefficienten der Reihe $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ nicht erfüllt sind. (Kovalewskaia 1875, 24) la série $\Phi(t-t_{0})$ ne peut être convergente à moins que $\varphi(t_{0},\;u)$ ⁸⁸ 8 Variante : “à moins que $\varphi(t_{0},u)$ soit une fonction soit une fonction entière”. soit une fonction entière rationnelle ou transcendante de $u$ . Cela n’a pas lieu et la fonction $\varphi(t,\;u)$ regardée comme fonction de $t$ n’existe donc quand $u$ est une constante dont la partie réelle reste négative que pour le domaine : partie réelle de $t<0$ .

En mettant

e^{t}=x,\quad e^{u}=a,\quad|a|<1

vous obtenez une fonction de $x$

\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{a^{\nu{\kern 1.0pt}}x^{\nu^{2}}}

qui n’existe que pour $\left|x\right|<1$ et qui soit continue ainsi que toutes ses dérivées pour $\left|x\right|=1$ .⁹⁹ 9 Variante : “… vous obtenez une série de puissance … ”. Il est facile à voir qu’on peut de beaucoup généraliser ce résultat obtenu par M. Fredholm. Madame M L me prie de la rappeler au bon souvenir de M. Poincaré et je vous serre bien cordialement la main.

Tout à vous.

M. L.

Mon mémoire sur les invariants des équations différentielles linéaires paraîtra bientôt.¹⁰¹⁰ 10 Mittag-Leffler 1891a. J’espère que vous y trouverez quelques résultats dignes de votre intérêt.

ADftS 4p. IML 1397, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: " 7.10.2016 16:50"

Références

U. Bottazzini and J. Gray (2013) Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. Springer, New York. Cited by: footnote 5.
I. Fredholm (1890) Om en speciell klass av singulära linjer. Öfversigt af Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 47, pp. 131–134. External Links: Link Cited by: footnote 5.
I. Fredholm (1955) Œuvres complètes d’Ivar Fredholm. Litos Reprotryck, Malmö. Cited by: footnote 5.
D. Khavinson and H. S. Shapiro (1994) The heat equation and analytic continuation: Ivar Fredholm’s first paper. Expositiones mathematicæ 12, pp. 79–95. External Links: Link Cited by: footnote 5.
G. Kobb (1891) Sur les surfaces développées. Bulletin de la Société Mathématique de France 19, pp. 1–3. External Links: Link Cited by: footnote 3.
S. V. Kovalevskaia (1875) Zur Theorie der Partiellen Differentialgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, pp. 1–32. External Links: Link Cited by: footnote 5, footnote 7.
G. Mittag-Leffler (1890) Sur une transcendante remarquable découverte par M. Fredholm. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 110, pp. 627–629. External Links: Link Cited by: footnote 5.
G. Mittag-Leffler (1891a) Sur la représentation analytique des intégrales et des invariants d’une équation différentielle linéaire et homogène. Acta mathematica 15, pp. 1–32. External Links: Link Cited by: footnote 10.
G. Mittag-Leffler (1891b) Sur une transcendante remarquable découverte par M. Fredholm (Extrait d’une lettre à M. Poincaré)). Acta mathematica 15, pp. 279–280. External Links: Link Cited by: footnote 5.
M. Zerner (1971) Domaine d’holomorphie des fonction vérifiant une équation aux dérivées partielles. Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences de Paris A 272, pp. 1646–1648. External Links: Link Cited by: footnote 5.