1-1-83. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

[5/3/1889]11Date du cachet de la poste de Paris. Paris-5 mars — Stockholm-9 mars. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica (38, p. 169-173).

Mon cher ami,

Dans ma dernière lettre, j’ai cherché à vous montrer que les démonstrations de convergence de M. G[yldén] sont insuffisantes ; il me reste à examiner si ses développements convergent effectivement (bien qu’il ne l’ait pas démontré) en me bornant au cas où il existe réellement des solutions asymptotiques.

Je considère donc l’équation suivante

d2Vdt2+n2sAsinVcosV=n2(X)

(X)=s1A1sin(λ1nt+mV+h)

h est une constante et je suppose pour éviter quelques unes des difficultés que je vous signalais la dernière fois que λ1 et m sont entiers. Que fait M. Gyldén ? Il pose :

V=V0+V1,V0=-2arctge-ξ+π2(page 257)

ξ=αnt+C / α étant un coefficient qu’on se réserve de modifier à chaque approximation. Sa valeur exacte est cependant entièrement déterminée et ne peut pas ne pas l’être puisque αn n’est autre chose que ce que j’ai appelé l’exposant caractéristique.

L’équation devient alors :

d2V1dξ2-(2sin2V0)V1=1α2(X)+(1-sAα2)sinVcosV+YY=-sinVcosV+sinV0cosV0-V1(2sin1V0-1)

M. G[yldén] donne le développement de Y suivant les puissances de V1 page 236 ligne 7. (en comptant les formules pour une ligne) En appelant

1α2(X)

le second membre de l’équation précédente il vient :

(1)

d2V1dξ2-(2sin2V0-1)V1=Xα2

qui ne diffère pas de l’équation (6) de M. G[yldén] page 236.

Cela posé, voici comment on fera pour intégrer (1) par approx[imations] successives. On fera d’abord dans X, V1=0, on aura une équation linéaire en V1, on l’intégrera, on substituera dans X à la place de V1 la valeur approchée ainsi obtenue, on aura une nouvelle équation linéaire qui donnera une valeur plus approchée de V1 qu’on substituera de nouveau dans X et ainsi de suite. A chaque approximation on dispose de trois arbitraires à savoir : deux constantes d’intégration et α qu’on s’est réservé de modifier à chaque approx[imation]. /

L’intégration de l’équation (1) quand on y regarde X comme connu nous donne conformément à la formule (32) de la page 261

-2α2V1=(eξ-e-ξ)[-ξXdξeξ+e-ξ+C1]-1(eξ+e-ξ)[-ξX(eξ-e-ξ)𝑑ξ+C2]+4(eξ+e-ξ)-ξ𝑑ξ-ξ(Xdξeξ+e-ξ+C1)

Je n’écris pas la formule tout à fait comme M. Gyldén afin de mettre en évidence les deux constantes d’intégration C1 et C2. Considérons d’abord les valeurs négatives de ξ ; pour ces valeurs, X peut être développé suivant les puissances croissantes de eξ, de V1 et suivant les sinus et les cosinus des multiples de ξ/α. Si on remplace V1 par la valeur trouvée dans l’approx[imation] précédente, X sera développée suivant les puissances de eξ et les sinus et les cosinus des multiples de ξ/α. Nous voulons que l’approximation suivante de V1 donnée par la formule (32) soit de même forme. Elle ne doit donc contenir, ni terme en e-ξ, ni terme en ξeξ. Pour qu’elle ne contienne pas de terme en e-ξ, il faut que la constante C1 soit nulle. Pour qu’elle ne contienne pas de terme en ξeξ, il faut que X ne contienne pas de terme en eξ. / Supposons donc que X ne contienne pas de terme en e+ξ et choisissons C1 = 0. Il nous reste deux [constantes] arbitraires C2 et α ; nous pourrons en disposer et cela d’une infinité de manières de telle façon qu’à l’approx[imation] suivante X ne contienne pas de terme en eξ. Nous pouvons donc d’une infinité de manières trouver une série satisfaisant formellement à l’équation (1) et développée suivant les puissances de eξ et les sinus et les cosinus des multiples de ξ/α. Parmi ces séries, en nombre infini, une seule peut être convergente pour les valeurs négatives de ξ ; en effet j’ai dit plus haut que la valeur de α22[pouvait] rayé. devait être entièrement déterminée.

Considérons maintenant les valeurs positives de ξ.

Pour ces valeurs, X peut être développé suivant les puissances croissantes de e-ξ. Nous voulons que V1 soit de même forme, et ne contienne ni terme en e+ξ, ni terme en ξe-ξ. Pour qu’il ne contienne pas de termes en eξ il faut que

C1=--+Xdξeξ+e-ξ

Pour qu’il ne contienne pas de terme en ξe-ξ, il faut que X ne contienne pas de terme en e-ξ. Nous supposerons qu’il en soit ainsi et nous voulons qu’il en soit encore ainsi à l’approx[imation] suivante. Nous disposerons donc de C2 et de α pour annuler les termes en e-ξ dans l’approx[imation] suivante de X.

Nous pouvons le faire d’une infinité de manières, nous obtenons donc encore une infinité de séries, parmi lesquelles une seule peut converger. /

Admettons, ce qui est probablement exact, (je dis probablement parce que je n’ai pas entièrement vérifié l’identité de ces séries avec les miennes) qu’il y ait effectivement une série qui converge pour les valeurs positives de ξ et une autre pour les valeurs négatives.

Ces deux séries sont elles la continuation analytique l’une de l’autre, correspondent-elles aux mêmes valeurs de C1, de C2 et de α ? M. Gyldén ne le dit pas expressément mais son texte le laisse entendre et je crois que c’était bien là sa pensée. Je sais d’ailleurs qu’il en est ainsi, puisque j’ai démontré que les surfaces asymptotiques sont des surfaces fermées ; mais dans la démonstration de M. G[yldén] je ne vois aucune bonne raison de le croire.

1° Pour que C1 ait la même valeur pour ξ négatif et pour ξ positif, il faut que :

-+Xdξeξ+e-ξ=0

Pourquoi en serait-il ainsi ; si je prends un des termes de X, par exemple

sin(tλ1αξ+H1)

je reconnais aisément que l’intégrale correspondante qui est très facile à calculer, n’est pas nulle à moins que H1 ne soit nul. Pourquoi les intégrales provenant des différents termes se détruiraient-elles ? Je n’en verrais aucune raison si je ne savais à l’avance que les surf[aces] asympt[otiques] sont fermées.

2° Je veux maintenant que C2 et α aient même valeur / pour ξ positif ou négatif.

Il faut donc que je dispose de ces deux constantes de façon qu’à l’approx[imation] suivante, si on développe X suivant les puissances de eξ, on n’ait pas de terme en eξ et si on développe X suivant les puissances de e-ξ, on n’ait pas de terme en e-ξ. Il est clair que je puis le faire, puisque j’ai deux arbitraires et deux conditions à remplir. Mais pourquoi parmi les séries en nombre infini que l’on peut former la seule série convergente serait précisément celle qui correspond à ce choix particulier de C2 et α. Il n’y a ici encore aucune raison pour le croire, à moins qu’on ne sache d’avance que les surf[aces] asympt[otiques] sont fermées.

3° Ce n’est d’ailleurs pas ce choix que fait M. G[yldén] au moins si l’on [se] rapporte à sa formule (3) de la page 236.

Il commence par disposer de α de façon à annuler le terme en eξ (ou en e-ξ) dans X-(X) et probablement se servirait ensuite de la constante C2 pour annuler le terme correspondant dans (X). (…  ?) Ce choix doit conduire à un résultat divergent puisque nous venons de voir que la manière d’obtenir une série convergente est unique33[qu’un seul choix pouvait conduire à un résultat convergent.] rayé..

En résumé, si on suit à la lettre les indications de / M. G[yldén] en se fiant à sa formule (3) page 236 on arrive à une série divergente.

Si on laisse de côté cette formule à laquelle je suppose que M. G[yldén] ne tient guère, on arrive à une infinité de séries dont une seule converge et on n’a44[Si maintenant] rayé. aucun moyen de reconnaître qu’elle est celle qui converge.

Il me paraît probable que l’on obtiendra cette série convergente en choisissant les constantes de façon que la série pour ξ négatif et celle pour ξ positif se raccordent. Mais je ne vois dans le mémoire de M. G[yldén] aucune bonne raison pour cela, je n’y suis conduit que par une application des résultats de mon travail couronné. (encore faudrait-il pour en être absolument sûr, un examen plus approfondi)

Un dernier mot ; la dernière fois j’ai parlé des raisonnements par lesquels Delaunay établit l’existence des solutions asympt[otiques]. Delaunay n’a énoncé nulle part un pareil résultat, j’ai voulu dire simplement que sa méthode appliquée au cas particulier traité par M. G[yldén] l’aurait conduit à des développements de même forme.

Je termine par où j’aurais dû commencer / en félicitant le gouvernement français de la décision qu’il vient de prendre en vous accordant une distinction si méritée.55Suite à la proclamation des résultats du concours de roi de Suède et à l’initiative de Hermite, les lauréats Appell et Poincaré et l’organisateur du concours, Mittag-Leffler avaient été décorés de la Légion d’Honneur : La pensée nous est venue de mettre à profit la circonstance, qui a eu tant de retentissement, du prix du roi de Suède décerné à Poincaré, et de la médaille accordée à Appell, pour demander au Ministre de l’Instruction Publique, au nom de l’Académie des Sciences, de les décorer l’un et l’autre de la Légion d’Honneur. (Lettre de Hermite à Mittag-Leffler datée du 13 février 1889 — Dugac 1985, 162) Dans sa lettre adressée à Mittag-Leffler datée du 24 février 1889, Hermite annonce le résultat favorable de ses démarches : Vous verrez dans les numéros du Temps et des Débats qui vous parviendront en même temps que cette lettre, qu’il a été décidé au conseil des ministres que la décoration de la Légion d’Honneur vous serait donnée en même temps qu’à Poincaré et Appell. Je désire vivement que cette distinction, à laquelle depuis longtemps je pensais pour vous, vous cause quelque plaisir ; au moins ne vous refusez pas à y voir un témoignage de la profonde sympathie que tous nous avons pour votre personne, comme pour votre mérite éminent d’analyste. Peut-être vous étonnerez-vous que je n’ai été informé de l’événement que par la voie des journaux, à mon avis il y a encore plus lieu d’être surpris que les journaux l’aient annoncé à titre d’une décision prise au conseil des ministres, et il devient ainsi difficile de se refuser à reconnaître que l’affaire du prix mathématique du roi de Suède a été une affaire d’état. Je ne m’étais donc point trompé, et je n’avais pas exagéré en vous disant que le prix et la médaille de Poincaré et d’Appell avaient eu un grand retentissement ; l’effet produit a même dépassé mon attente, et j’espère qu’il ne se trouvera personne en Suède à être mécontent. (Dugac 1985, 167)

Votre ami dévoué,

Poincaré

ALS 8p. IML 51, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Références