1-1-83. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

[5/3/1889]

Mon cher ami,

Dans ma dernière lettre, j’ai cherché à vous montrer que les démonstrations de convergence de M. G[yldén] sont insuffisantes ; il me reste à examiner si ses développements convergent effectivement (bien qu’il ne l’ait pas démontré) en me bornant au cas où il existe réellement des solutions asymptotiques.

Je considère donc l’équation suivante

$$\frac{d^{2}V}{d{t}^2}+n^{2}sA\sin V\cos V=n^2\left(X\right)$$

où

$$\left(X\right)=\sum s_1{A}_1\sin \left({\lambda }_{1}nt+mV+h\right)$$

h est une constante et je suppose pour éviter quelques unes des difficultés que je vous signalais la dernière fois que ${\lambda }_1$ et m sont entiers. Que fait M. Gyldén ? Il pose :

$$V=V_0+V_1,V_0=-2\text{arctg}{e}^{-\xi }+\frac{\pi }{2}\mathit{\hspace{1em}}(\text{page }257)$$

$\xi =\alpha nt+C$ / $\alpha$ étant un coefficient qu’on se réserve de modifier à chaque approximation. Sa valeur exacte est cependant entièrement déterminée et ne peut pas ne pas l’être puisque $\alpha n$ n’est autre chose que ce que j’ai appelé l’exposant caractéristique.

L’équation devient alors :

$$\begin{array}{c}\hfill \frac{d^2{V}_1}{d{\xi }^2}-\left(2{\sin }^2{V}_0\right)V_1=\frac{1}{{\alpha }^2}\left(X\right)+\left(1-\frac{sA}{{\alpha }^2}\right)\sin V\cos V+Y\hfill \\ \hfill Y=-\sin V\cos V+\sin V_0\cos V_0-V_1\left(2{\sin }^1{V}_0-1\right)\hfill \end{array}$$

M. G[yldén] donne le développement de Y suivant les puissances de $V_1$ page 236 ligne 7. (en comptant les formules pour une ligne) En appelant

$$\frac{1}{{\alpha }^2}\left(X\right)$$

le second membre de l’équation précédente il vient :

(1)

$$\frac{d^2{V}_1}{d{\xi }^2}-\left(2{\sin }^2{V}_0-1\right)V_1=\frac{X}{{\alpha }^2}$$

qui ne diffère pas de l’équation (6) de M. G[yldén] page 236.

Cela posé, voici comment on fera pour intégrer (1) par approx[imations] successives. On fera d’abord dans X, $V_1=0$, on aura une équation linéaire en $V_1$, on l’intégrera, on substituera dans X à la place de $V_1$ la valeur approchée ainsi obtenue, on aura une nouvelle équation linéaire qui donnera une valeur plus approchée de $V_1$ qu’on substituera de nouveau dans X et ainsi de suite. A chaque approximation on dispose de trois arbitraires à savoir : deux constantes d’intégration et $\alpha$ qu’on s’est réservé de modifier à chaque approx[imation]. /

L’intégration de l’équation (1) quand on y regarde X comme connu nous donne conformément à la formule (32) de la page 261

$$\begin{array}{c}\hfill -2{\alpha }^2{V}_1=\left(e^{\xi }-e^{-\xi }\right)\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\xi }\frac{Xd\xi }{e^{\xi }+e^{-\xi }}+C_1\right]-\frac{1}{(e^{\xi }+e^{-\xi })}\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\xi }X\left(e^{\xi }-e^{-\xi }\right)𝑑\xi +C_2\right]\hfill \\ \hfill +\frac{4}{(e^{\xi }+e^{-\xi })}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\xi }𝑑\xi {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\xi }\left(\frac{Xd\xi }{e^{\xi }+e^{-\xi }}+C_1\right)\hfill \end{array}$$

Je n’écris pas la formule tout à fait comme M. Gyldén afin de mettre en évidence les deux constantes d’intégration $C_1$ et $C_2$. Considérons d’abord les valeurs négatives de $\xi$ ; pour ces valeurs, X peut être développé suivant les puissances croissantes de $e^{\xi }$, de $V_1$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de $\xi /\alpha$. Si on remplace $V_1$ par la valeur trouvée dans l’approx[imation] précédente, X sera développée suivant les puissances de $e^{\xi }$ et les sinus et les cosinus des multiples de $\xi /\alpha$. Nous voulons que l’approximation suivante de $V_1$ donnée par la formule (32) soit de même forme. Elle ne doit donc contenir, ni terme en $e^{-\xi }$, ni terme en $\xi e^{\xi }$. Pour qu’elle ne contienne pas de terme en $e^{-\xi }$, il faut que la constante $C_1$ soit nulle. Pour qu’elle ne contienne pas de terme en $\xi e^{\xi }$, il faut que X ne contienne pas de terme en $e^{\xi }$. / Supposons donc que X ne contienne pas de terme en $e^{+\xi }$ et choisissons $C_1$ = 0. Il nous reste deux [constantes] arbitraires $C_2$ et $\alpha$ ; nous pourrons en disposer et cela d’une infinité de manières de telle façon qu’à l’approx[imation] suivante X ne contienne pas de terme en $e^{\xi }$. Nous pouvons donc d’une infinité de manières trouver une série satisfaisant formellement à l’équation (1) et développée suivant les puissances de $e^{\xi }$ et les sinus et les cosinus des multiples de $\xi /\alpha$. Parmi ces séries, en nombre infini, une seule peut être convergente pour les valeurs négatives de $\xi$ ; en effet j’ai dit plus haut que la valeur de $\alpha$ devait être entièrement déterminée.

Considérons maintenant les valeurs positives de $\xi$.

Pour ces valeurs, X peut être développé suivant les puissances croissantes de $e^{-\xi }$. Nous voulons que $V_1$ soit de même forme, et ne contienne ni terme en $e^{+\xi }$, ni terme en $\xi e^{-\xi }$. Pour qu’il ne contienne pas de termes en $e^{\xi }$ il faut que

$$C_1=-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{Xd\xi }{e^{\xi }+e^{-\xi }}$$

Pour qu’il ne contienne pas de terme en $\xi e^{-\xi }$, il faut que X ne contienne pas de terme en $e^{-\xi }$. Nous supposerons qu’il en soit ainsi et nous voulons qu’il en soit encore ainsi à l’approx[imation] suivante. Nous disposerons donc de $C_2$ et de $\alpha$ pour annuler les termes en $e^{-\xi }$ dans l’approx[imation] suivante de X.

Nous pouvons le faire d’une infinité de manières, nous obtenons donc encore une infinité de séries, parmi lesquelles une seule peut converger. /

Admettons, ce qui est probablement exact, (je dis probablement parce que je n’ai pas entièrement vérifié l’identité de ces séries avec les miennes) qu’il y ait effectivement une série qui converge pour les valeurs positives de $\xi$ et une autre pour les valeurs négatives.

Ces deux séries sont elles la continuation analytique l’une de l’autre, correspondent-elles aux mêmes valeurs de $C_1$, de $C_2$ et de $\alpha$ ? M. Gyldén ne le dit pas expressément mais son texte le laisse entendre et je crois que c’était bien là sa pensée. Je sais d’ailleurs qu’il en est ainsi, puisque j’ai démontré que les surfaces asymptotiques sont des surfaces fermées ; mais dans la démonstration de M. G[yldén] je ne vois aucune bonne raison de le croire.

1° Pour que $C_1$ ait la même valeur pour $\xi$ négatif et pour $\xi$ positif, il faut que :

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{Xd\xi }{e^{\xi }+e^{-\xi }}=0$$

Pourquoi en serait-il ainsi ; si je prends un des termes de X, par exemple

$$\sin \left(\frac{t{\lambda }_1}{\alpha }\xi +H_1\right)$$

je reconnais aisément que l’intégrale correspondante qui est très facile à calculer, n’est pas nulle à moins que $H_1$ ne soit nul. Pourquoi les intégrales provenant des différents termes se détruiraient-elles ? Je n’en verrais aucune raison si je ne savais à l’avance que les surf[aces] asympt[otiques] sont fermées.

2° Je veux maintenant que $C_2$ et $\alpha$ aient même valeur / pour $\xi$ positif ou négatif.

Il faut donc que je dispose de ces deux constantes de façon qu’à l’approx[imation] suivante, si on développe X suivant les puissances de $e^{\xi }$, on n’ait pas de terme en $e^{\xi }$ et si on développe X suivant les puissances de $e^{-\xi }$, on n’ait pas de terme en $e^{-\xi }$. Il est clair que je puis le faire, puisque j’ai deux arbitraires et deux conditions à remplir. Mais pourquoi parmi les séries en nombre infini que l’on peut former la seule série convergente serait précisément celle qui correspond à ce choix particulier de $C_2$ et $\alpha$. Il n’y a ici encore aucune raison pour le croire, à moins qu’on ne sache d’avance que les surf[aces] asympt[otiques] sont fermées.

3° Ce n’est d’ailleurs pas ce choix que fait M. G[yldén] au moins si l’on [se] rapporte à sa formule (3) de la page 236.

Il commence par disposer de $\alpha$ de façon à annuler le terme en $e^{\xi }$ (ou en $e^{-\xi }$) dans $X-(X)$ et probablement se servirait ensuite de la constante $C_2$ pour annuler le terme correspondant dans $(X)$. (…  ?) Ce choix doit conduire à un résultat divergent puisque nous venons de voir que la manière d’obtenir une série convergente est unique.

En résumé, si on suit à la lettre les indications de / M. G[yldén] en se fiant à sa formule (3) page 236 on arrive à une série divergente.

Si on laisse de côté cette formule à laquelle je suppose que M. G[yldén] ne tient guère, on arrive à une infinité de séries dont une seule converge et on n’a aucun moyen de reconnaître qu’elle est celle qui converge.

Il me paraît probable que l’on obtiendra cette série convergente en choisissant les constantes de façon que la série pour $\xi$ négatif et celle pour $\xi$ positif se raccordent. Mais je ne vois dans le mémoire de M. G[yldén] aucune bonne raison pour cela, je n’y suis conduit que par une application des résultats de mon travail couronné. (encore faudrait-il pour en être absolument sûr, un examen plus approfondi)

Un dernier mot ; la dernière fois j’ai parlé des raisonnements par lesquels Delaunay établit l’existence des solutions asympt[otiques]. Delaunay n’a énoncé nulle part un pareil résultat, j’ai voulu dire simplement que sa méthode appliquée au cas particulier traité par M. G[yldén] l’aurait conduit à des développements de même forme.

Je termine par où j’aurais dû commencer / en félicitant le gouvernement français de la décision qu’il vient de prendre en vous accordant une distinction si méritée.

Votre ami dévoué,

Poincaré

ALS 8p. IML 51, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.