1-1-27. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

Nancy, le 6 Février 188311Paris-6 février — Stockholm-10 février. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica 38, p. 157-158.

Mon cher ami,

J’ai reçu ici votre aimable lettre dont je vous remercie ; je suis absent de Paris depuis trois jours et je compte y rentrer après demain.

Vous me demandez quelques explications au sujet de mon mémoire sur les fonctions de deux variables. Vous me demandez d’abord pourquoi je dis / que dans la partie commune aux deux régions R0 et R1 le rapport

N1/N0

ne devient ni nul, ni infini ; c’est que je suppose que dans la région R0 les deux fonctions holomorphes N0 et D0 ne s’annulent à la fois que pour des points isolés, ou si vous voulez qu’elles ne peuvent pas être toutes deux divisibles par une même fonction φ s’annulant à l’intérieur de R0 . Cette supposition est toujours permise et de plus elle est absolument indispensable pour la suite de la démonstration.

Voici d’ailleurs pourquoi elle est permise : Si N0 et D0 ont un facteur commun qui s’annule au point X0, Y0 il est possible de former effectivement ce facteur et de le faire disparaître. Si N0 et D0 n’ont pas de facteur commun s’annulant en X0, Y0 / il sera possible de22[faire disparaître] rayé. prendre la région R0 assez petite pour qu’il n’y ait pas de facteur commun s’annulant à l’intérieur de R0.

Vous me demandez pourquoi un point x, y, z, t appartiendra au plus à cinq des régions R. Je ne pouvais disposer de ces régions de telles façon qu’un point appartînt au plus à33[deux] rayé. quatre de ces régions. En effet considérons la partie commune à 4 régions R, elle satisfera aux 4 inégalités :

S1<0S2<0S3<0S4<0 (1)

Les quatre équations :

S1=S2=S3=S4=0

auront toujours des solutions communes ; dans le voisinage d’une de ces solutions il y aura des points satisfaisant aux 4 inégalités (1) et n’appartenant par conséquent à aucune autre région R que les / 4 régions considérées, et des points qui satisferont aux 4 inégalités

S1>0S2>0S3>0S4>0

et qui n’appartiendront à aucune des 4 régions R1,R2,R3,R4 à cause de ces inégalités ; ni à aucune autre44[inégale] rayé. région R puisqu’ils sont infiniment voisins des premiers.

Au contraire, on peut toujours disposer des régions R, de telle sorte qu’un point appartienne au moins à 1 et au plus à 5 d’entre elles. Vous pouvez aisément vous rendre compte de tout cela en considérant seulement deux dimensions en envisageant des cercles. Le nombre est alors 3 et non plus 5.55On peut recouvrir un plan avec des disques de telle manière que trois au plus s’intersectent. Cela n’a d’ailleurs aucune importance pour ce qui suit.

Il ne me reste que la place de vous serrer la main et de vous prier de présenter à Madame Mittag les amitiés de ma femme et mes respects.

Poincaré

ALS 4p. IML 11, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.