2-41-1. H. Poincaré to Albert A. Michelson

[Ca. 27.04.1899]¹¹ 1 Lettre publiée dans Nature le 18 mai 1899. Michelson sollicitera de Poincaré son autorisation de publication; voir Michelson à Poincaré, 28.04.1899 (§ 2-41-2).

Mon cher Collègue,

Comme je l’avais prévenu vous avez tout à fait raison. Prenons d’abord l’intégrale

\int_{0}^{y}{\frac{\sin xz}{x}dx},

dont la limite pour $y=\infty$ est $\pi/4$ , 0, $-\pi/4$ selon que $z$ est positif, nul ou négatif.²² 2 La transcription de Nature veut que ce soit $x/4$ , 0, $-x/4$ , mais la limite pour $z>0$ , $z=0$ , et $z<0$ est $\pi/2$ , 0, et $-\pi/2$ , respectivement, comme l’observe E. Hewitt et R. Hewitt (1979, 153). Nous corrigeons uniquement la coquille de $x$ pour $\pi$ .

Faisons maintenant tendre simultanément $z$ vers 0 et $y$ vers l’infini de telle façon que $z y$ tende vers $a$ . La limite sera

\int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{x}dx}

qui peut prendre toutes les valeurs possibles depuis 0 jusqu’à

\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin x}{x}dx}.

Si nous prenons maintenant $n$ termes dans la série³³ 3 Poincaré voulait écrire : $\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{\sin kz}{k}.$

\sum{\frac{\sin kz}{z}},

en faisant tendre simultanément $z$ vers 0 et $n$ vers l’infini de telle façon que le produit $n z$ tende vers $a$ , cela sera évidemment la même chose ; et la différence entre la somme et l’intégrale sera d’autant plus petite que $z$ sera plus petit. Cela se voit aisément.

Tout à vous,

Poincaré

PTrL. Poincaré 1899.

Time-stamp: "25.12.2016 02:02"

Références

E. Hewitt and R. E. Hewitt (1979) The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episode in Fourier analysis. Archive for History of Exact Sciences 21, pp. 129–160. Cited by: footnote 2.
H. Poincaré (1899) Fourier’s series (letter to A.A. Michelson). Nature 60, pp. 52. External Links: Link Cited by: 2-41-1. H. Poincaré to Albert A. Michelson.