3-33-6. H. Poincaré to Anders Lindstedt

Paris 29 Mars 1884

Monsieur,

J’ai beaucoup réflechi depuis quelque temps à votre mémoire beitrag zur integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie et j’aurais une explication à vous demander.¹¹ 1 Lindstedt 1883.

Prenons l’équation :

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\psi_{0}+\psi_{1}x+\psi_{2}x^{2}+\ldots

À la p[remièr]e approximation vous arrivez à une formule

x_{p}=\;\text{une série trigonométrique en }t\text{ et }w\text{ dont le premier terme est }\eta_{0}\cos w.

Vous déterminez ensuite $x_{p+1}$ par l’équation :

\frac{d^{2}x_{p+1}}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x_{p+1}=-n^{2}\nu x_{p}+\psi_{0}+\psi_% {1}x_{p}+\psi_{2}x_{p}^{2}+\ldots

le second membre est une série trigonométrique et vous disposez de $\nu$ pour en faire disparaître les termes en $\cos w$ .²² 2 L’objectif de Lindstedt est d’étudier l’équation $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{2}+\ldots$ (1) qu’il présente comme le problème principal de la théorie des perturbations (Lindstedt 1882). Les fonctions $\Psi$ sont essentiellement des séries trigonométriques. La méthode d’approximation successive habituelle consiste à considérer pour la première approximation la solution de l’équation sans second membre et à calculer avec celle-ci le second membre de l’équation (1). Il peut apparaître avec cette méthode des termes séculaires. L’idée de Lindstedt est d’écrire l’équation (1) sous la forme : $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=-n^{2}\nu x+\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{% 2}+\ldots=-n^{2}\nu x+f(x)$ (2) et de commencer le processus d’approximations successives en considérant la solution $x_{0}=\eta_{0}\cos w,\qquad\mbox{où}\quad w=n(1-\sigma)t+\varpi,\quad 1-\sigma% =\sqrt{1-\nu}$ de l’équation : $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=0.$ En posant $f(x_{0})=f(\eta_{0}\cos w)=a_{0}+2a_{1}\cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots,$ on obtient l’équation : $\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x_{1}=a_{0}+(2a_{1}-n^{2}\nu\eta_{0})% \cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots$ L’intégration de cette équation implique l’absence de termes séculaires, et Lindstedt propose de négliger le terme en $\cos w$ . Ainsi, il obtient (Lindstedt 1883, 8): $\nu_{1}=\frac{2a_{1}}{n^{2}\eta_{0}}.$ Voici donc une première approximation $x_{1}$ sous forme de série trigonométrique. La méthode de Lindstedt consiste alors à itérer le procédé. Callandreau, dans sa recension des travaux de Lindstedt, a souligné qu’il restait des questions en suspens

Mais cela ne suffit pas, il faut faire disparaître aussi les termes en $\sin w$ , ce que vous ne pouvez pas faire par le même procédé.

Il faudrait donc démontrer que ces termes disparaissent d’eux-mêmes. Je vois bien, par l’observation, qu’il en est effectivement ainsi mais je ne puis parvenir à le démontrer et cela ne me paraît pas du tout évident a priori.

Je vous serais fort obligé si vous vouliez bien me faire savoir comment vous le démontrez.³³ 3 Lindstedt ne démontre pas ce point; il pensait en fait qu’il fallait se placer dans des cas où les termes en $\sin w$ disparaissaient en même temps que ceux en $\cos w$ : En effet, pour que l’équation $\Delta u=W$ où le second membre est une série trigonométrique en $t$ et $w$ puisse être satisfaite par une série trigonométrique $u$ , il faut et il suffit que $W$ ne contienne ni terme en $\cos w$ , ni de terme en $\sin w$ . Or nous pouvons disposer de $\nu_{k}$ , de façon à détruire les termes en $\cos w$ ; mais nous ne pourrions pas de même détruire les termes en $\sin w$ , s’il y en avait […].
On voit immédiatement qu’on ne peut en rencontrer dans les premières approximations ; mais il n’est pas évident qu’il en serait de même dans les approximations suivantes. Aussi M. Lindstedt croyait-il que sa méthode n’était applicable jusqu’au bout que s’il n’existait aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les coefficients du temps dans les divers termes de $\phi_{1}$ , $\phi_{2}$ , … , $\phi_{p}$ . (Poincaré 1886, 59)

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée,

Poincaré

ALSX 2p. Observatoire de Paris.

Time-stamp: "28.01.2016 22:30"

Références

A. Lindstedt (1882) Über die Integration einer für die Störungstheorie wichtigen Differentialgleichung. Astronomische Nachrichten 103, pp. 211–219. External Links: Link Cited by: footnote 2.
A. Lindstedt (1883) Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie. Mémoires de l’Académie impériale des sciences de St-Pétersbourg 31 (4), pp. 1–20. Cited by: footnote 1, footnote 2.
H. Poincaré (1886) Sur une méthode de M. Lindstedt. Bulletin astronomique 3, pp. 57–61. External Links: Link Cited by: footnote 3.