3-26-1. George William Hill to H. Poincaré

1892 Jan. 20

Nautical Almanac Office — Washington D.C.

M. H. Poincaré — Membre de l’Institut — Professeur à la Faculté des Sciences — Paris, France

Cher Monsieur :

J’ai reçu l’exemplaire de Tom. I de votre “Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste” que vous avez été aussi bon que d’envoyer.¹¹ 1 Poincaré 1892. Acceptez mes remerciements.

Relativement à votre critique de ma affirmation de la lune de lunaison maximum (pp. 104–109), vous avez raison j’admets.²² 2 Dans ses Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Poincaré s’intéresse aux “recherches de M. Hill sur la lune” par rapport aux solutions périodiques. Il reprend l’étude de Hill du problème des trois corps lorsque la masse d’un des corps ( $C$ ) est très grande par rapport à celle des deux autres corps et que la distance entre le corps le plus massique ( $C$ ) et un des autres corps ( $A$ ) est très grande : Si, en même temps, on rapporte la masse $B$ à deux axes mobiles, à savoir un axe $A\xi$ coïncidant avec $A C$ et à un axe $A\eta$ perpendiculaire au premier, les équations du mouvement deviendront comme M. Hill l’a démontré, $\left\{\begin{array}[]{l}\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}-2n\frac{d\eta}{dt}+\left(% \frac{\mu}{r^{3}}-3n^{2}\right)\xi=0\\ \frac{d^{2}\eta}{dt^{2}}-2n\frac{d\xi}{dt}+\left(\frac{\mu}{r^{3}}\right)\eta=% 0\;;\end{array}\right.$ (1) $n$ désigne la vitesse angulaire de $C$ .
Les solutions de la première sorte subsistent encore dans ce cas et ce sont celles dont M. Hill a reconnu le premier l’existence, ainsi qe l’ai dit plus haut. [… ]
Les équations (1) admettent une intégrale qui s’écrit $\frac{1}{2}\left(\frac{d\xi}{dt}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{d\eta}{dt}% \right)^{2}-\frac{\mu}{r}-\frac{3}{2}n^{2}\xi^{2}=C.$ (Poincaré 1892, 104–105, avec correction d’une coquille, $\mu/2\rightarrow\mu/r$ ) Hill étudie alors numériquement les variations de la trajectoire périodique en fonction de $C$ . The method of employing numerical values, from the outset, in the equation of condition, determining the $a_{i}$ , is far less laborious than the literal development of these coefficient in powers of a parameter. (Hill 1878, 245) La forme de la trajectoire “rappelle grossièrement celle d’une ellipse dont le grand axe serait l’axe des $\eta$ ”. Lorsque $C$ augmente, l’excentricité augmente et Hill montre que pour une certaine valeur $C_{0}$ de $C$ , la courbe présente deux points de rebroussement situés sur l’axe des $\eta$ . Hill dénomme cette orbite “Moon of maximum lunation”: Any information regarding the motion of satellites having long periods of revolution about their primaries will doubtless be welcome, as the series given by previous investigators are inadequate for showing anything in this direction. Hence this chapter will be terminated by a table of the more salient properties of the class of satellites having the radius at a minimum in syzygies and at a maximum in quadratures. For this end I have selected, besides the earth’s moon, taken for the sake of comparison, the moons of 10, 9, 8, …, 3 lunations in the periods of their primaries, and also what may be called the moon of maximum lunation, as, of the class of satellites under discussion, exhibiting the complete round of phases, it has the longest lunation. (Hill 1878, 250) Hill termine son article par une série de courbes construites point par point représentant la trajectoire de la lune terrestre, des lunes présentant quatre et trois lunaisons ainsi que celle de lune de lunaison maximum : The moons in the first lines of the table have paths which approach the ellipse quite closely, but the paths of the moons of the last lines exhibit considerable deviation from this curve, while the orbit of the moon of maximum lunation has sharp cusps at the points of quadrature. (Hill 1878, 260) Hill affirme sans démonstration ni même justification qu’au-delà de la valeur critique $C_{0}$ , les solutions périodiques n’existent plus, ou du moins se réduisent à des oscillations qui n’intersectent pas l’axe $\eta$ des quadratures : Whether this class of satellites is properly to be prolonged beyond this moon, can only be decided by further employment of mechanical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures, and that the moons describing them would make oscillations to and fro, never departing as much as 90° from the point of conjunction or of opposition. (Hill 1878, 259) Poincaré montre que “la classe de satellites découverte par M. Hill peut être prolongée au-delà de la Lune de lunaison maximum” (Poincaré 1892, 108) et il étudie la forme de l’orbite de la lune au-delà de la valeur critique : La trajectoire relative pour $C>C_{0}$ présente donc la forme représentée par la figure ci-contre.
Dans le cours d’une période, la masse $B$ se trouve six fois en quadrature, car sa trajectoire relative coupe l’axe des $\eta$ en deux points doubles et en deux points simples.
Ainsi M. Hill se trompe en supposant que cette sorte de satellites ne seraient jamais en quadrature ; il y aurait, au contraire, trois quadratures entre deux syzygies consécutives. (Poincaré 1892, 109) Une figure analogue a été publiée par W. Thomson (1892). Pour une étude de cette orbite voir Wintner (1928) et Szebehely (1967, chap. 10). Il m’échappa que la rotation des axes des coordonnées rendît le mouvement de l’élongation rétrograde pendant que la lune maintînt un mouvement direct en espace. En faisant la quadrature mécanique à partir de l’axe de $x$ , je me trompe en s’attendant la quadrature symétrique toujours à la première intersection de la courbe avec l’axe de $y$ . Evidemment, il faut quelquefois de prolonger la courbe à l’intersection deuxième.

Je note que votre équation de p. 105 il faut de lire $\nicefrac{{1}}{{C}}$ à la place de $C$ pour que les remarques suivantes relatives à $C$ s’appliquent.

Les brillantes additions que vous avez contribué à la mécanique céleste causent en moi un vif regret d’avoir négligé pour aussi long un temps les recherches de cette sorte. Cependant j’ai été industrieux dans une autre direction.³³ 3 Hill n’a rien publié en mécanique céleste entre 1880 et 1895. Durant cette période, il suivait le programme de travail proposé par Simon Newcomb, de reconsidérer l’ensemble des mouvements des planètes du système solaire, et a fini par perfectionner les théories de Saturne et de Jupiter (Hill 1890). Hill a pris sa retraite en 1892, et a repris alors ses études théoriques, ce qui aboutira à plusieurs articles sur le problème des trois corps et sur la théorie de Delaunay (Hill 1895, 1900, 1902).

En terminant, permettez moi de vous remercier pour votre bienfaisant intérêt en mes contributions à la théorie lunaire et pour la flatteuse mention vous en avez faite dans vos écritures.

Agréez, Monsieur, etc. — Votre serviteur dévoué,

G.W. Hill

ALS 3p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "10.02.2016 22:02"

Références

G. W. Hill (1878) Researches in the lunar theory. American Journal of Mathematics 1 (1–3), pp. 5–26, 129–147, 245–260. Cited by: footnote 2.
G. W. Hill (1890) A New Theory of Jupiter and Saturn. United States Nautical Almanac Office, Washington. External Links: Link Cited by: footnote 3.
G. W. Hill (1895) The periodic solution as a first approximation in the lunar theory. Astronomical Journal 15, pp. 137–143. External Links: Link Cited by: footnote 3.
G. W. Hill (1900) Extension of Delaunay’s method in the lunar theory to the general problem of planetary motion. Transactions of the American Mathematical Society 1, pp. 205–242. Cited by: footnote 3.
G. W. Hill (1902) Illustrations of periodic solutions in the problem of three bodies. Astronomical Journal 22, pp. 93–97, 117–121. External Links: Link Cited by: footnote 3.
H. Poincaré (1892) Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Volume 1. Gauthier-Villars, Paris. External Links: Link Cited by: footnote 1, footnote 2.
V. G. Szebehely (1967) Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Academic Press, New York. Cited by: footnote 2.
W. Thomson (1892) On graphic solution of dynamical problems. Philosophical Magazine 34 (210), pp. 443–448. External Links: Link Cited by: footnote 2.
A. Wintner (1928) Über die Existenz der Hillschen Mondbahn of maximum lunation und der Poincaréschen Schlingbahnen. Mathematische Zeitschrift 28, pp. 430–450. Cited by: footnote 2.