3-15-19. H. Poincaré to George Howard Darwin

[Entre fin Juillet et début Août 1901]11Le MS porte un fragment de calcul d’une main inconnue: AUξ+ω22Jξ=0 / +(?)ωξ=(ω022=)=0

Mon cher collègue,

J’entre en matière sans plus de préambule.

Je définirai une surface quelconque S par rapport à un ellipsoïde de référence E de la façon suivante.

Soit dω un élément de la surface de l’ellipsoïde E; je mène les trois droites orthogonales des ellipsoïdes homofocaux jusqu’à la rencontre de la surface S; je détache ainsi un petit volume dv; soit:

dv=l.N.dω

je développe ensuite N en série harmonique. De cette façon si dans le développement de N il n’y a pas de terme d’ordre 0, le volume de S est égal à celui de E.

Soit E0 l’ellipsoïde initial, ellipsoïde de Jacobi qui fait la bifurcation avec la série des poires. Je pourrai toujours choisir un ellipsoïde de référence E de même volume que E0 et de telle façon qu’en rapportant S à E, le développement de N ne contienne pas d’harmoniques d’ordre 0, 1 ou 2.

Soient ξ, ξ, ξ′′, etc. les coëff. du développement de N, ξ étant en particulier le coëff. de la 3d zonal. Soient η et ζ deux variables définissant la forme de E et s’annulant quand E se réduit à E0. La forme de la surface S sera alors définie par les variables η, ζ, ξ, ξ, ξ′′, ….

Soit U l’énergie de gravitation, J le moment d’inertie, ω la vitesse angulaire, ω0 la valeur de ω qui correspond à E0; posons:

U+ω022J=W  ω2=ω02+2ε.

Les équations d’équilibre s’écriront:

dWdξ+εdJdξ=dWdη+εdJdη==0.

Il faut donc développer W et J suivant les puissances de η, ζ, ξ, ξ, …. J’appellerai W0 et J0 les termes constants du développement, que je pourrais d’ailleurs laisser de côté.

Dans W pas de terme du 1er degré. Les termes du 2d degré se réduisent à des carrés:

aξ2,bη2,cζ2,aξ2,

a est nul (coëff. de stabilité nul).

Par symétrie il n’y a pas de terme en ξ3; mais il y a un terme en ξ4 que j’écrirai a1ξ4, il y a aussi des termes en ξ2η, ξ2ζ; je puis donc écrire:

W=W0+bη2+cζ2+aξ2+a1ξ4+hξ2η+kξ2ζ+R,

R étant un ensemble de termes qui comme nous le verrons ne joueront aucun rôle.

Passons à J. Les seuls termes du 1er degré sont βη et γζ; le terme en ξ2 est important aussi, il n’y a pas de terme en ξη, ξζ; je puis donc écrire:

J=J0+βη+γζ+αξ2+P,

P étant un ensemble de termes qui ne joueront aucun rôle.

Les équations deviennent alors:

4a1ξ3+2hξη+2kξζ+dRdξ+ε(2αξ+dPdξ)=0

Comme dPdξ est au moins du 2d ordre, dRdξ du 3e ordre, cette éq. nous apprend que ε est du 2d ordre. Il en résulte que η est du même ordre que εdJdη, c’est-à-dire du 2d ordre, ξ du 2d ordre etc.

P contenant en facteur soit ξ3, soit ξ2η, soit ξη2, soit ξ2, soit ξη, soit ξξ, est du 3e ordre et dPdξ du 2d ordre.

R contient ξ2ξ, ξξ2, ξ3, ηξ2, η2ξ, etc. dRdξ est donc du 4e ordre, et l’éq. qui donne ε peut se réduire à:

αε+2a1ξ2+hη+kζ=0 (1)

L’éq.

dWdη+εdJdη=0

donne de même:

2bη+hξ2+dRdη+ε(β+dPdη)=0

qui se réduit à:

2bη+hξ2+βε=0 (2)

De même

2cζ+kξ2+γε=0 (3)

Non je me trompe; je puis négliger dans dRdξ les termes du 4e ordre (en comptant ξ du 1er ordre, ξ, η, ζ du 2d ordre) et par conséquent dans R les termes du 5e ordre. Mais nous avons encore dans R des termes en ξ2ξ qui sont du 4e ordre et dont il faut tenir compte.

J’écrirai donc:

R=hξ2ξ+R

R étant du 5e ordre.

Dans dPdξ je puis négliger les termes du 2d ordre, par conséquent dans P ceux du 3e. Or P est du 3e ordre.

L’éq. (1) ainsi corrigée devient:

αε+2a1ξ2+hη+kζ+hξ=0 (1bis)

Aux éq. (2) et (3) rien à changer car dRdη est du 3e ordre, dRdη=dRdη.

Mais il faut ajouter l’éq.

dWdξ+εdJdξ=0

qui donne

2aξ+hξ2=0 (4)

L’éq. (1bis) devient alors:

αε+2a1ξ2+hη+kζ-ξ2h22a=0 (1ter)

Nous tirerons ε, η et ζ en fonction de ξ2 du système (1ter), (2), (3).

On trouve ensuite:

ωJ-ω0J0=ω0(βη+γζ+αξ2)+εω0J0

Le calcul de β, γ, b, c, h, k ne présente aucune difficulté; celui de α n’en présente pas de très grande.

C’est surtout sur le calcul de a1 et de h2a que nous devons insister.

Calcul de a1

Je décompose la masse attirante en trois parties. 1° ellipsoïde, 2° la simple couche, c’est-à-dire le bourrelet supposé ramené à la surface de l’ellipsoïde (en suivant les lignes trajectoires orthog. des surfaces homofocales μ=const, ν=const), 3° la couche supplém. dont l’attraction est égale à celle du bourrelet moins celle de la simple couche.

Alors a1 se décomposera de 4 termes:

  • terme dû à l’action mutuelle de l’ellips. et de la couche suppl.

  • [terme dû] à la force centrifuge.

  • [terme dû] à l’action mutuelle de la simple couche et de la couche suppl.

  • [terme dû] à l’action de la couche suppl. sur elle même,

Pour le 1er terme, soit V le potentiel de l’ellipsoïde, V0 sa valeur (μ et ν étant le même) à la surface de l’ellipsoïde, dτ l’élément de volume. Le 1er terme provient de

(V-V0)𝑑τ

Or dτ c’est à un facteur constant près

dρdμdν(ρ2-μ2)(ρ2-ν2)(μ2-ν2)=Hdρdμdν

J’appelle ρ0 la valeur de ρ qui correspond à notre ellips.

Je pose ρ=ρ0+σ et je développe suivant les puissances de σ:

(V-V0)H=K0+K1σ+K2σ2+

Le calcul des coëff. du dévelop. ne serait pas très difficile. La valeur de σ correspondant à l’épaisseur de la couche sera σ0. On serait ramené finalement à une quadrature simple 𝑑μ𝑑νAσ4; où σ serait proportionnelle à l’épaisseur de la poire (3d zônal harmonique) et où A serait une fonction assez simple de μ et de ν dépendant des 3 1ers coëff. K0, K1, K2, K3. Le 2d terme se ramènerait sans difficulté à une quadrature analogue.

Le calcul du 3e serait tout à fait analogue à celui du 1er seulement V représenterait le potentiel de la simple couche au lieu de celui de l’ellips.

Le 4e terme pourrait se calculer par le procédé que vous indiquez.

Nous pouvons réduire notre couche supplém. à une double-couche dont la densité est prop. à σ2. Si u est le potentiel de cette double couche, ce que nous avons à calculer dépend de

dudnσ2𝑑ω

dω étant l’élément de surface et dudn l’attraction normale due à cette double couche.

Supposons que σ2 ait été développé en série harmonique

σ2=AMN

On aura à un facteur constant près 4r(ρ2-b2)(ρ2-c2) ou quelque chose comme cela:

dudn=ARS2n+1lMN

d’où

σ2dudn𝑑ω=A2RS2n+1

mais le procédé de la quadrature mécanique doit être plus rapide que celui de la série harmonique.

Calcul de h2a

Pour calculer les coëff. h, voici ce qu’il faudrait faire; supposons deux bourrelets, le 1er d’épaisseur σ prop. à la 3d zonal, le 2d d’épaisseur

σ=ξlMN

Il faut en négligeant ξ2 calculer l’accroissement du potentiel quand on ajoute ce 2d bourrelet. C’est encore

V𝑑τ

dτ élément de volume du 2d bourrelet, V potentiel avant l’addition du 2d bourrelet. Mais V se décompose en 3 parties: 1° ellipsoïde 2° simple couche 3° couche supplémentaire.

Soit:

V=V+V′′+V′′′

Les expressions de V et de V′′ sont bien connues; quant à V′′′ c’est le potentiel u de notre double couche dont nous avons parlé plus haut.

Je développerai V et V′′ suivant les puissances de ρ-ρ0; j’aurai alors

V𝑑τ=σ𝑑ω[d2Vdρ2σ2+dV′′dρσ2+u]

Il importe de préciser ici que je prends u du côté extérieur à la double couche.

Posons:

d2Vdρ2σ2+dV′′dρσ2+u=ξ2φ

et développons φ en série harmonique:

φ=BMN.

Soit lMi2Ni2𝑑ω=Ωi.

Alors:

V𝑑τ=ξ2ξΩB.

Donc: h=ΩB.

Ce dont j’ai besoin c’est de h2a.

Or a à un facteur constant près c’est: Ωi(R1S13-RiSi2n+1).

h2a=B2ΩR1S13-RiSi2n+1

Posons:

ψ=lBMNR1S13-RiSi2n+1=lCMN

C=BiR1S13-RiSi2n+1

Le potentiel d’une simple couche de densité ψ est à un facteur constant près:

ϖ=CMNRiSi2n+1

d’où l’éq. puisque

(R1S13) =gl
gψ-ϖ =φ

ou quelque chose comme cela.

Je crois que cette éq. peut aider à déterminer ψ par approxim. successives. Si nous avons ψ alors

h2a=ψφ𝑑ω.

Tout cela est bien vague et les calculs restent fort longs, mais je réfléchirai de temps en temps à la question et je vous ferai part du résultat de mes réflexions. J’ai peut être fait des fautes de calcul surtout dans les coëff. Vous les vérifierez aisément.

Pardon de vous avoir écrit une si longue lettre et croyez à mon sincère dévouement.

Poincaré

ALS 11p. CUL-DAR251.4915, Cambridge University Library.

Time-stamp: "28.01.2016 17:57"