3-10-2. Carl Vilhelm Ludwig Charlier to H. Poincaré

Lund Mai 10 1899

À M. H. Poincaré — Membre de l’Institut — Paris

Cher Monsieur !

Les solutions particulières du problème des trois corps dans le plan, pour lesquelles les excentricités des orbites intermédiaires sont nulles, sont susceptibles d’être réduites à une simple quadrature.11Le problème étudié par Charlier est une simplification de celui étudié par Poincaré dans lequel deux masses planétaires se meuvent autour du corps central dans un même plan, les excentricités restant très petites. L’étude de ce problème donne lieu aux solutions périodiques de première sorte (Poincaré 1884, 68).

Soient en effet22Comme d’habitude, a désigne le demi-grand axe de la trajectoire elliptique, e son excentricité.

L =βa, 𝒢 =βa(1-e2)
=anom[alie] moy[enne], g =long[itude] du pér[ihélie]

donc on a pour le mouvement dans un plan les équations :

dLdt =F; ddt =-FL
d𝒢dt =Fg; dgdt =-F𝒢
dLdt =F; ddt =-FL
d𝒢dt =Fg; dgdt =-F𝒢

où la valeur de la constante β dépend du choix des coordonnées.

La fonction F peut être développée dans une série d’après les puissances des excentricités des orbites intermédiaires, soit

F=F0+L2-𝒢2F10+L2-𝒢2F01+

Le problème est à trouver des solutions particulières des équations (A), pour lesquelles33Charlier étudie le problème des trois corps dans le cas où les orbites intermédiaires sont des cercles.

L2-𝒢2=L2-𝒢20.

Quelque soit le choix des coordonnées, F0 est une fonction seulement de L, L et de la différence des longitudes des deux masses, c’est-à-dire de +g-(+g).

Pour des valeurs évanouissantes des excentricités on a

dLdt =F0
dLdt =F0,

et comme

F0+F0=0,

on a l’intégrale

L+L=C. (1)

En posant

L =Λ
L =C-Λ
L-L+g-g =λ,

on peut donc exprimer F0 en fonction seulement de Λ et λ.

Les équations différentielles de Λ och de λ44En français : ‘‘de Λ et de λ’’. sont d’une forme canonique.55Variante: À cet endroit, un passage rayé reprend presque terme pour terme le début du raisonnement précédent : ‘‘On a dLdt =F0 dLdt =F0, et d’après la forme de F0 on a F0+F0=0. On a donc L+L=C, C est une constante d’intégration.’’

On obtient

dΛdt=-FL-F𝒢+FL+F𝒢.

Mais

FL =F0L+LL2-𝒢2F10+
F𝒢 =-𝒢L2-𝒢2F10+

On a donc pour L=𝒢

FL+F𝒢=F0L

et

FL+F𝒢=F0L.

D’autre part

F0L-F0L=F0Λ

et les équations différentielles de Λ et λ sont

dΛdt=F0λ;dλdt=-F0Λ. (2)

De ces équations on connaît l’intégrale de la force vive

F0=const.

et les éléments Λ et λ sont donc déterminés par une simple quadrature.

La discussion de la formule (2) devient très simple si l’on se sert de la transformation (α), que vous avez envisagée dans le ‘‘Bulletin astronomique’’ pour l’an 1897.66Poincaré (1897) étudie différents changements de variables dans les équations du problème des trois corps. Il note par A, B, C les trois corps et par x1, x2, x3 les coordonnées de A, par x4, x5, x6 celles de B et par x7, x8, x9 celles de C. Comme à l’accoutumée, Poincaré désigne indifféremment par m1, m2, m3 la masse de A, par m4, m5, m6 celle de B et par m7, m8, m9 celle du troisième corps C. En notant F le lagrangien du système et en posant yi=midxidt, les équations du problème s’écrivent sous forme canonique : dxidt=dFdyi,dyidt=-dFdxi(i=1,2,,9). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un changement de variables conserve la forme de ces équations est xidyi=xidyi. Poincaré montre que l’on peut aussi caractériser parmi ces changements de variables ceux qui ne modifient pas la forme de l’équation des aires. Il donne des exemples de tels changements de variable et introduit le changement de variables qu’il dénote ‘‘changement (α)’’: y1=y1,y4=y4,x7=x7,x1-x7=x1,x4-x7=x4,y7=y1+y4+y7. ‘‘Ce changement de variables’’, explique Poincaré, ‘‘a une signification géométrique très simple’’: Les variables nouvelles x1, x2, , x6 sont les coordonnées relatives des points A et B par rapport à des axes mobiles passant par le point C.
Les variables y1m1, y2m2, , y6m6 sont les composantes des vitesses absolues de ces deux points A et B. (Poincaré, 1897, 56)
Poincaré rappelle ensuite le changement de variables introduit par Radau (1868) qu’il propose d’appeler ‘‘le changement (β)’’. Il montre que ce changement conserve la forme de l’équation des forces vives ; ce changement de variables consiste à désigner par x7, x8, x9 les coordonnées du centre de gravité G du système et par ξ, η, ζ celles du centre de gravité des corps A et C, puis à poser x1=x1-x7,x4=x4-η, ‘‘de telle sorte que x1, x2, x3 soient les coordonnées du point A par rapport à des axes mobiles passant par le point C ; et x4,x5,x6 celles du point B par rapport à des axes mobiles passant par le point D’’ (Poincaré 1897, 57–58). Un intérêt supplémentaire des changements (α) et (β) est qu’ils permettent tous les deux d’abaisser le nombre de degré de liberté de 9 à 6. Poincaré évoque alors le changement de variables le plus utilisé par les astronomes qu’il appelle le changement (γ) et dont il signale que ses ‘‘propriétés sont loin d’être aussi élégantes’’ que celles des changements (α) et (β) puisque le changement (γ) ne conserve ‘‘ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires’’ (Poincaré 1897, 59). De plus, si l’on utilise les changements de variables (α) et (β), l’intersection des plans des orbites des corps A et B reste dans le plan invariable (élimination des nœuds) : Il semble que tous ces avantages auraient dû faire substituer le changement (β) au changement (γ). Si on ne l’a pas fait, c’est sans doute parce que le développement de la fonction perturbatrice est un peu plus compliqué dans l’hypothèse (β). C’est pour cette raison que je crois devoir attirer l’attention sur le changement (α) qui n’a pas encore été proposé, qui n’altère ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires et qui conduit à un développement de la fonction perturbatrice tout aussi simple que le changement (γ). (Poincaré, 1897, 61)

Avec une haute considération — votre

C. V. L. Charlier

P.S. Les équations différentielles pour les perturbations séculaires dans le mouvement plan peuvent être traitées de la même manière. Ce que vous avez démontré vous même dans le N° 192 de vos ‘‘Méthodes nouvelles.’’77Poincaré (1893, §192) propose une modification de la méthode d’approximations successives pour l’équation (de l’évection) d2xdt+x(q2-q1cos2t)=αϕ(x,t) α est un coefficient très petit, ϕ(x,t) est une fonction connue de x et de t dont les termes sont tous de la forme Axpcosλt+μ. L’objectif est d’obtenir des développements trigonométriques des solutions sans introduire de terme séculaire. Poincaré obtient deux conditions pour lesquelles on a l’alternative : Ou bien le problème proposé est impossible ;
Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes. (Poincaré 1893, §192)
Afin de montrer que le problème est possible lorsque le lagrangien est périodique par rapport aux variables yi, Poincaré (1893, §193) utilise des techniques analogues à celles employées par Charlier dans sa lettre.
Peut-être que vous avez démontré aussi la même chose pour les solutions périodiques d’ordre nul par rapport aux excentricités, quoique je ne l’ai pu trouver.

ALS 5p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "27.01.2016 01:24"

Références