Gaëtan Blum to H. Poincaré

Paris, le 3 janvier 1910¹¹ 1 Le manuscrit comporte trois pages de calculs de la main de Poincaré à propos des masses fluides en rotation.

Société astronomique de France

Fondée en 1887, reconnue d’utilité publique en 1897

Monsieur et Cher Collègue,

J’ai l’honneur de vous informer que l’Ordre du Jour de la Séance du Conseil du 5 Janvier, 8^h $\nicefrac{{1}}{{4}}$ , sera le suivant :

« Examen de modifications à apporter au projet de statuts votés par le Conseil dans sa dernière réunion ».

Veuillez agréer, Monsieur et Cher Collègue, mes bien sincères salutations.

L’un des Secrétaires Adjoints,

Blum

[La suite du manuscrit comporte des calculs de la main de Poincaré.]

axes fixes; axes mobiles; sphère fictive $\sum ax^{2}=1$

$\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ , $\rho$ ori. axes mobiles axes fixes;²² 2 rayé: sphère fictive

$\lambda_{1}$ , $\mu_{1}$ , $\nu_{1}$ , $\rho_{1}$ ori. sphère fictive axes mobiles; (sphère fictive mob. [???])

***

$p$ , $q$ , $r$ ; $p_{1}$ , $q_{1}$ , $r_{1}$ diff. entre les deux cas proj. sur axes mobiles.

***

	$\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\lambda^{\prime}}-\frac{dT}{d\lambda}+% \frac{dU}{d\lambda}=k\lambda;\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\lambda^{\prime}}-\frac{dT% }{d\lambda_{1}}=k_{1}\lambda_{1};\sum\lambda^{2}=\sum\lambda_{1}^{2}=1$
	$\displaystyle\left.\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{2}p&\displaystyle=-% \mu\lambda^{\prime}+\lambda\mu^{\prime}-\rho\nu^{\prime}+\nu\rho^{\prime}\\ \displaystyle\frac{1}{2}p_{1}&\displaystyle=-\mu_{1}\lambda_{1}^{\prime}+% \lambda_{1}\mu_{1}^{\prime}-\rho_{1}\nu_{1}^{\prime}+\nu_{1}\rho_{1}^{\prime}% \end{aligned}\right)\qquad\text{pourquoi à l'envers}$

***

	$\displaystyle T=T_{2}+T_{1}+T_{0};T_{2}=\frac{1}{2}\sum Ap^{2};T_{0}=\frac{1}{% 2}\sum A_{1}p_{1}^{2}$
	$\displaystyle T_{1}=\sum Pp=\sum A_{1}^{\prime}pp_{1};A_{1}=A_{1}^{\prime}$

***

$\frac{d}{dt}\frac{dT}{dp}+r\frac{dT}{dq}-q\frac{dT}{dr}=-L;\frac{d}{dt}\frac{% dT}{dp_{1}}-r_{1}\frac{dT}{dq_{1}}+q_{1}\frac{dT}{dr_{1}}=0$

***

	$\displaystyle X_{i}(f)$	$\displaystyle=\sum X_{i}^{\mu}\frac{df}{dx_{\mu}};\quad X_{i}X_{k}-X_{k}X_{i}=% \sum c_{iks}X_{s}$
	$\displaystyle X(f)$	$\displaystyle=z\frac{df}{dy}-y\frac{df}{dz};\quad XY-YX=Z$
	$\displaystyle Y(f)$	$\displaystyle=x\frac{df}{dz}-z\frac{df}{dx};\quad YZ-ZY=X$
	$\displaystyle Z(f)$	$\displaystyle=y\frac{df}{dx}-x\frac{df}{dy};\quad ZX-XZ=Y$

***

	$\displaystyle\frac{dx_{\mu}}{dv}=\sum\eta_{\rho}X_{\rho}^{\mu};\delta x_{\mu}=% \sum\omega_{\rho}X_{\rho}^{\mu}$
	$\displaystyle\sum\left(\frac{dT}{dx}-\frac{dU}{dx}\right)\delta x=\sum\Omega_{% i}\omega_{i}$
	$\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\eta_{s}}=\sum c_{ski}\frac{dT}{d\eta_{i}}% \eta_{k}+\Omega_{s}$

***

rot. $p$ , $q$ , $r$ , rot. $p_{1}$ , $q_{1}$ , $r_{1}$ ; une [???] à l’autre.

signif. des $\underline{c}$ ; inversion; signif. des $\Omega$ .

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Eq. des Aires.

Vecteur des moments $\frac{dT}{dp}$ , $\frac{dT}{dq}$ , $\frac{dT}{dr}$ ; vitesse relative de ce

$\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{dT}{dp}$	$\displaystyle+r\frac{dT}{dq}-q\frac{dT}{dr}$	$\displaystyle=-L$
vitesse	vitesse	vitesse
relative	d’entraînement	absolue.

Eq. de Helmholtz

	$\displaystyle u=r_{1}\sqrt{b}{a}y-q_{1}\sqrt{c}{a}z+ry-qz$
	$\displaystyle\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dz}=r_{1}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{% \frac{a}{b}}\right)+2r\qquad abc=1$

integr. de Helm. grand cercle $=\frac{r}{\sqrt{ab}}\left(\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dz}\right)=r_{1}\left(\frac{% 1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{2r}{\sqrt{ab}}$

fact. const. près $\frac{4d}{15\sqrt{abc}}$ ; $A_{1}r_{1}+A_{1}^{\prime}r=\frac{dT}{dp_{1}}$

Vecteur de Helmholtz $\frac{dT}{dp_{1}}$ $\frac{dT}{dq_{1}}$ $\frac{dT}{dr_{1}}$

invar. lié à la sph. fictive

	$\displaystyle\frac{dT}{dp_{1}}$	$\displaystyle=r_{1}\frac{dT}{dq_{1}}-q_{1}\frac{dT}{dr_{1}}$
	vitesse	vitesse
	absolue	d’entraînement

ellipticity $\frac{1}{26000.365}$ $\frac{1}{300}$ prév. 3 [???]

***

Mouv. simples

$\displaystyle\sum ax^{2}=1,\sum aux=0$	$\displaystyle\qquad\sum\frac{du}{dx}=0;x^{\prime}=x\sqrt{a},y^{\prime}=y\sqrt{% b},z^{\prime}=z\sqrt{c}$
$\displaystyle u=r\sqrt{\frac{b}{a}}y-q\sqrt{\frac{c}{a}}z;$	$\displaystyle\qquad\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=r\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt% {\frac{a}{b}}\right)$
$\displaystyle v=p\sqrt{\frac{c}{b}}z-r\sqrt{\frac{a}{b}}x;$	$\displaystyle\qquad\frac{dv}{dz}-\frac{dw}{dy}=p\left(\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt% {\frac{b}{c}}\right)$	(1)
$\displaystyle w=q\sqrt{\frac{a}{c}}x-p\sqrt{\frac{b}{c}}y;$	$\displaystyle\qquad\frac{dw}{dx}-\frac{du}{dz}=q\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt% {\frac{c}{a}}\right)$

***

mouv. simples se combinent comme rotations, invariant $\sum a(x_{1}-x_{2})^{2}$

***

Conserv. des mouv. simples.

Th. de Helmholtz. $\int(udx+vdy+wdz)=$ fonc. lin. de $\int xdx$ , $\int ydx$ , $\int xdy$ ; etc $\int ydx=-\int xdy$

Récipr. $\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=$ const. — sol. (1); sol. unique, car si deux sol. $u-u^{\prime}=\frac{d\varphi}{dx}$ , $v-v^{\prime}=\frac{d\varphi}{dy}$ , $w-w^{\prime}=\frac{d\varphi}{dz}$ ; $\triangle\varphi=0$ , $\frac{d\varphi}{du}=0$

***

$x^{\prime}=x+udt$ ; $\int x^{\prime}dx^{\prime}$ , $\int y^{\prime}dx^{\prime}$ , …fonc. lin. de $\int xdx$ etc.

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Extens. à l’ellipsoïde mobile volume constant.

	$\displaystyle\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=\text{const.},u=r\sqrt{\frac{b}{a}}y-% q\sqrt{\frac{c}{a}}z+\frac{d\varphi}{dx}$
	$\displaystyle\sum ax^{2}=1,\sum ax^{2}=1+2\psi dt;\sum a(x+udt)^{2}=1+2\psi dt$
	$\displaystyle\sum aux=\psi;\sum ax\frac{d\varphi}{dx}=\psi;\triangle\varphi=0,% \text{vol.}=\text{const.}$

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Force vive. ellip. immobile.

$T$ polyn. 2^d degré $\underline{p,q,r}$ ; symétrie pas de terme en $p q$ ; si $\underline{r}=0$ , changer $q$ en $-q$ et $y$ en $-y$ , c’est changer $u$ et $w$ en $-u$ et $-w$ .

	$\displaystyle q=r=0;d=1,p=1;u=0;2T=\int(v^{2}+w^{2})dxdydz$
	$\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int\left(\frac{v^{\prime 2}}{b}+\frac{w^{% \prime 2}}{c}\right)dx^{\prime}dy^{\prime}dz^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int% \left(\frac{y^{\prime 2}}{c}+\frac{x^{\prime 2}}{b}\right)dx^{\prime}dy^{% \prime}dz^{\prime}$
	$\displaystyle\int y^{\prime 2}dx^{\prime}dy^{\prime}dz^{\prime}=\frac{4\pi}{15% };2T=\frac{4\pi}{15}\frac{1}{\sqrt{abc}}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$
	$\displaystyle T=\frac{1}{2}\sum Ap^{2};A=\frac{4\pi}{15}\frac{d}{\sqrt{abc}}% \left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\text{ord}\;abc=1.$
	$\displaystyle\int(vz-wy)dxdydz=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int\frac{v^{\prime}z^{% \prime}-w^{\prime}y^{\prime}}{\sqrt{bc}}dx^{\prime}dy^{\prime}dz^{\prime}=% \frac{8\pi}{15}\frac{pd}{\sqrt{abc}}\frac{1}{\sqrt{bc}}$
	$\displaystyle A^{\prime}p,B^{\prime}q,C^{\prime}r;A^{\prime}=\frac{8\pi}{15}% \frac{d}{\sqrt{abc}}\frac{1}{\sqrt{bc};}A^{\prime}[???]=A$

ALS 1p. Collection particulière, Paris 75017.

Last edit: 11.11.2013