Gaëtan Blum to H. Poincaré

Paris, le 3 janvier 1910

Société astronomique de France

Fondée en 1887, reconnue d’utilité publique en 1897

Monsieur et Cher Collègue,

J’ai l’honneur de vous informer que l’Ordre du Jour de la Séance du Conseil du 5 Janvier, 8^h$1/4$, sera le suivant :

«   Examen de modifications à apporter au projet de statuts votés par le Conseil dans sa dernière réunion   ».

Veuillez agréer, Monsieur et Cher Collègue, mes bien sincères salutations.

L’un des Secrétaires Adjoints,

Blum

[La suite du manuscrit comporte des calculs de la main de Poincaré.]

axes fixes; axes mobiles; sphère fictive $\sum a{x}^2=1$

$\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\rho$ ori. axes mobiles axes fixes;

${\lambda }_1$, ${\mu }_1$, ${\nu }_1$, ${\rho }_1$ ori. sphère fictive axes mobiles; (sphère fictive mob. [???])

***

$p$, $q$, $r$; $p_1$, $q_1$, $r_1$ diff. entre les deux cas proj. sur axes mobiles.

***

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{d{\lambda }^{\prime }}-\frac{dT}{d\lambda }+\frac{dU}{d\lambda }=k\lambda ;\frac{d}{dt}\frac{dT}{d{\lambda }^{\prime }}-\frac{dT}{d{\lambda }_1}=k_1{\lambda }_1;\sum {\lambda }^2=\sum {\lambda }_1^2=1$$

***

$$T=T_2+T_1+T_0;T_2=\frac{1}{2}\sum A{p}^2;T_0=\frac{1}{2}\sum A_1{p}_1^2$$

$$T_1=\sum Pp=\sum A_1^{\prime }p{p}_1;A_1=A_1^{\prime }$$

***

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{dp}+r\frac{dT}{dq}-q\frac{dT}{dr}=-L;\frac{d}{dt}\frac{dT}{d{p}_1}-r_1\frac{dT}{d{q}_1}+q_1\frac{dT}{d{r}_1}=0$$

***

$X_i(f)$ $={\displaystyle \sum X_i^{\mu }\frac{df}{d{x}_{\mu }}};X_i{X}_k-X_k{X}_i={\displaystyle \sum c_{iks}{X}_s}$

$X(f)$ $=z{\displaystyle \frac{df}{dy}}-y{\displaystyle \frac{df}{dz}};XY-YX=Z$

$Y(f)$ $=x{\displaystyle \frac{df}{dz}}-z{\displaystyle \frac{df}{dx}};YZ-ZY=X$

$Z(f)$ $=y{\displaystyle \frac{df}{dx}}-x{\displaystyle \frac{df}{dy}};ZX-XZ=Y$

***

$$\frac{d{x}_{\mu }}{dv}=\sum {\eta }_{\rho }{X}_{\rho }^{\mu };\delta x_{\mu }=\sum {\omega }_{\rho }{X}_{\rho }^{\mu }$$

$$\sum \left(\frac{dT}{dx}-\frac{dU}{dx}\right)\delta x=\sum {\mathrm{\Omega }}_i{\omega }_i$$

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{d{\eta }_s}=\sum c_{ski}\frac{dT}{d{\eta }_i}{\eta }_k+{\mathrm{\Omega }}_s$$

***

rot. $p$, $q$, $r$, rot. $p_1$, $q_1$, $r_1$; une [???] à l’autre.

signif. des $\underset{¯}{c}$; inversion; signif. des $\mathrm{\Omega }$.

***

Eq. des Aires.

Vecteur des moments $\frac{dT}{dp}$, $\frac{dT}{dq}$, $\frac{dT}{dr}$; vitesse relative de ce

${\displaystyle \frac{d}{dt}}{\displaystyle \frac{dT}{dp}}$ $+r{\displaystyle \frac{dT}{dq}}-q{\displaystyle \frac{dT}{dr}}$ $=-L$

vitesse vitesse vitesse

relative d’entraînement absolue.

Eq. de Helmholtz

$$u=r_1\sqrt{b}ay-q_1\sqrt{c}az+ry-qz$$

$$\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dz}=r_1\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)+2r\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}abc=1$$

integr. de Helm. grand cercle $=\frac{r}{\sqrt{ab}}\left(\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dz}\right)=r_1\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{2r}{\sqrt{ab}}$

fact. const. près $\frac{4d}{15\sqrt{abc}}$; $A_1{r}_1+A_1^{\prime }r=\frac{dT}{d{p}_1}$

Vecteur de Helmholtz $\frac{dT}{d{p}_1}$ $\frac{dT}{d{q}_1}$ $\frac{dT}{d{r}_1}$

invar. lié à la sph. fictive

${\displaystyle \frac{dT}{d{p}_1}}$ $=r_1{\displaystyle \frac{dT}{d{q}_1}}-q_1{\displaystyle \frac{dT}{d{r}_1}}$

vitesse vitesse

absolue d’entraînement

ellipticity $\frac{1}{26000.365}$ $\frac{1}{300}$ prév. 3 [???]

***

Mouv. simples

${\displaystyle \sum a{x}^2}=1,{\displaystyle \sum aux}=0$ $\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}}{\displaystyle \sum \frac{du}{dx}}=0;x^{\prime }=x\sqrt{a},y^{\prime }=y\sqrt{b},z^{\prime }=z\sqrt{c}$

$u=r\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}y-q\sqrt{{\displaystyle \frac{c}{a}}}z;$ $\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}}{\displaystyle \frac{du}{dy}}-{\displaystyle \frac{dv}{dx}}=r\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}\right)$

$v=p\sqrt{{\displaystyle \frac{c}{b}}}z-r\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}x;$ $\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}}{\displaystyle \frac{dv}{dz}}-{\displaystyle \frac{dw}{dy}}=p\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{c}{b}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{c}}}\right)$ (1)

$w=q\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{c}}}x-p\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{c}}}y;$ $\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}}{\displaystyle \frac{dw}{dx}}-{\displaystyle \frac{du}{dz}}=q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{c}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{c}{a}}}\right)$

***

mouv. simples se combinent comme rotations, invariant $\sum a{(x_1-x_2)}^2$

***

Conserv. des mouv. simples.

Th. de Helmholtz. $\int (udx+vdy+wdz)=$ fonc. lin. de $\int x𝑑x$, $\int y𝑑x$, $\int x𝑑y$; etc $\int y𝑑x=-\int x𝑑y$

Récipr. $\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=$ const. — sol. (1); sol. unique, car si deux sol. $u-u^{\prime }=\frac{d\phi }{dx}$, $v-v^{\prime }=\frac{d\phi }{dy}$, $w-w^{\prime }=\frac{d\phi }{dz}$; $\mathrm{△}\phi =0$, $\frac{d\phi }{du}=0$

***

$x^{\prime }=x+udt$; $\int x^{\prime }𝑑x^{\prime }$, $\int y^{\prime }𝑑x^{\prime }$, …fonc. lin. de $\int x𝑑x$ etc.

***

Extens. à l’ellipsoïde mobile volume constant.

$$\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=\text{const.},u=r\sqrt{\frac{b}{a}}y-q\sqrt{\frac{c}{a}}z+\frac{d\phi }{dx}$$

$$\sum a{x}^2=1,\sum a{x}^2=1+2\psi dt;\sum a{(x+udt)}^2=1+2\psi dt$$

$$\sum aux=\psi ;\sum ax\frac{d\phi }{dx}=\psi ;\mathrm{△}\phi =0,\text{vol.}=\text{const.}$$

***

Force vive. ellip. immobile.

$T$ polyn. 2^d degré $\underset{¯}{p,q,r}$; symétrie pas de terme en $pq$; si $\underset{¯}{r}=0$, changer $q$ en $-q$ et $y$ en $-y$, c’est changer $u$ et $w$ en $-u$ et $-w$.

$$q=r=0;d=1,p=1;u=0;2T=\int (v^2+w^2)𝑑x𝑑y𝑑z$$

$$=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int \left(\frac{v^{\prime 2}}{b}+\frac{w^{\prime 2}}{c}\right)𝑑x^{\prime }𝑑y^{\prime }𝑑z^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int \left(\frac{y^{\prime 2}}{c}+\frac{x^{\prime 2}}{b}\right)𝑑x^{\prime }𝑑y^{\prime }𝑑z^{\prime }$$

$$\int y^{\prime 2}𝑑x^{\prime }𝑑y^{\prime }𝑑z^{\prime }=\frac{4\pi }{15};2T=\frac{4\pi }{15}\frac{1}{\sqrt{abc}}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$

$$T=\frac{1}{2}\sum A{p}^2;A=\frac{4\pi }{15}\frac{d}{\sqrt{abc}}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\text{ord}abc=1.$$

$$\int (vz-wy)𝑑x𝑑y𝑑z=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int \frac{v^{\prime }{z}^{\prime }-w^{\prime }{y}^{\prime }}{\sqrt{bc}}𝑑x^{\prime }𝑑y^{\prime }𝑑z^{\prime }=\frac{8\pi }{15}\frac{pd}{\sqrt{abc}}\frac{1}{\sqrt{bc}}$$

$$A^{\prime }p,B^{\prime }q,C^{\prime }r;A^{\prime }=\frac{8\pi }{15}\frac{d}{\sqrt{abc}}\frac{1}{\sqrt{bc};}{A}^{\prime }[\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}]=A$$

ALS 1p. Collection particulière, Paris 75017.

Last edit: 11.11.2013